Odpowiedź:
1. Pole trapezu jest równe P = 9√3
2. Pole trapezu P = 24√3 cm.
Szczegółowe wyjaśnienie:
1. Spuścimy wysokość trapezu h z kąta rozwartego do podstawy, to otrzymamy trójkąt prostokątny o kątach 30° i 60°, przeciwprostokątnej
a =2√3 cm. Drugą przyprostokątną (poziomą) oznaczymy x.
Można zauważyć, że otrzymany trójkąt prostokątny jest połową trójkąta równobocznego o boku a =2√3, gdzie wysokość trapezu h jest połową boku trójkąta równobocznego, h = a/2 = √3 cm.
Z otrzymanego trójkąta prostokątnego możemy "czytać" ważne twierdzenie, że: "W trójkącie prostokątnym długość boku leżącego na przeciw kąta
30° jest połową długości przeciwprostokątnej"
Brakującą przyprostokątną poziomą x obliczymy z tw. Pitagorasa:
x² + h² = (2√3)² to x² = (2√3)² - h² = (2√3)² - (√3)² = 12 - 3 = 9 to
x = 3 cm, więc podstawa górna trapezu b = 12 - 3 - 3 = 6 cm
Pole trapezu P = (a + b)•h/2 gdzie a = 12 cm to
P = (12 +6)•√3/2 = 18√3/2 = 9√3
Odpowiedź: Pole trapezu jest równe P = 9√3
2. W trapezie prostokątnym jedno ramię jest prostopadłe do podstawy. Wysokość trapezu h jest jednocześnie wysokością trójkąta równobocznego o podstawie a, (a jest jednocześnie dłuższą podstawą trapezu), więc wysokość h dzieli bok podstawę na połowę, czyli na a/2.
Z tw. Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych h i a/2 oraz przeciwprostokątnej a, mamy: h² + (a/2)² = a² to h² = a² - (a/2)² to
h² = 4a²/4 - a²/4 = 3a²/4 /√ [pierwiastkujemy ostatnie równanie] to
h = a√3/2 (otrzymaliśmy znany wzór na wysokość trójkąta równobocznego.
to a√3/2 = 4√3 to a = 4√3:√3/2 = (4√3)•2/√3 = 8 a = 8 cm.
Ostatecznie mamy trapez o dłuższej podstawie a = 8, krótszej podstawie
b = a/2 = 4 cm i wysokości h = 4√3 cm to
Pole trapezu P = (a + b)•h/2 = (8 + 4)•4√3/2 = 24√3 cm.
