W zadaniu należy obliczyć pole powierzchni całkowitej ostrosłupa, którego ściana boczna przedstawiona jest na rysunku.
Wzór na pole powierzchni całkowitej dowolnego ostrosłupa:
[tex]P_c = P_p + P_b[/tex]
[tex]P_c[/tex]⇒ pole powierzchni całkowitej ostrosłupa
[tex]P_p[/tex] ⇒ pole podstawy ostrosłupa
[tex]P_b[/tex] ⇒ pole boczne ostrosłupa
To ostrosłup prawidłowy czworokątny, wiec w podstawie znajduje się kwadrat a pole boczne tworzą 4 takie same trójkąty (o wymiarze a x h)
[tex]P_c =a^2 + 4 \cdot \cfrac{a \cdot h}{2} = a^2 + 2 \cdot a \cdot h[/tex]
gdzie:
[tex]a = 2\sqrt{5} \\\\[/tex]
h - wysokość ściany bocznej (obliczymy z twierdzenia Pitagorasa)
[tex]c = \sqrt{21}[/tex]
Wysokość padająca w trójkącie na podstawę dzieli ją na pół, więc - możemy zapisać, że: możemy obliczyć wysokość ściany bocznej z:
[tex]h^2 + (\frac{1}{2}a)^2 = c^2 \\\\h^2 + (\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5})^2 = (\sqrt{21})^2 \\\\h^2 + (\sqrt{5})^2 = 21 \\\\h^2 + 5 = 21 \\\\h^2 = 21 - 5 \\\\h^2 = 16 \\\\h = \sqrt{16} = 4 \\\\[/tex]
Obliczamy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:
[tex]P_c = a^2 + 2 \cdot a \cdot h \\\\P_c = (2\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 4 \\\\\boxed{P_c = 20 +16\sqrt{5}}[/tex]
#SPJ2
