Odpowiedź:
ĆWICZENIE 3 a)
Rozwiązaniem nierówności jest przedział: - 4 ≤ x ≤ - 3 ⇒ x ∈ ⟨-4, -3⟩
3 b) Rozwiązaniem nierówności jest przedział - 1 < x < 5 ⇒ x ∈ (-1, 5)
3 c) Rozwiązaniem nierówności jest przedział:
(- ∞ < x ≤ - 6) ∨ (0 ≤ x < + ∞) ⇒ x ∈ {(- ∞ < x ≤ - 6⟩ ∪ ⟨0 ≤ x + ∞)}
Szczegółowe wyjaśnienie:
ĆWICZENIE 3 a)
(x + 3)(x + 4) ≤ 0. Po lewej stronie nierówności mamy równanie paraboli (równanie kwadratowe) w postaci iloczynowej, gdzie równanie ogólne
y = ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x2), gdzie x1, x2; a w naszym przykładzie
x1 = - 4, x2 = - 3, są miejscami zerowymi paraboli (rozwiązaniami równania kwadratowego).
Nawet nie musimy tutaj niczego obliczać czy rysować parabolę w układzie współrzędnych 0xy (wykres paraboli możemy sobie narysować w wyobraźni). Wystarczy następująca analiza:
1. Współczynnik przy x², a > 0, to oznacza, ze parabola skierowana jest wierzchołkiem do dołu.
2. W miejscach zerowych, w punktach na osi 0x, x1 = - 4, x2 = - 3, wykres paraboli przecina oś 0x, to znaczy, ze w tych punktach wartość
funkcji f(x) = y = 0.
3. W rozważanej nierówności rozważamy ten kawałek wykresu paraboli, który leży po niżej osi 0x, a więc rozwiązaniem nierówności jest przedział na osi Ox między punktami -4 i -3; należy tylko jeszcze zwrócić uwagę, że w nierówności występuje znak ≤ 0, to oznacza, ze rozwiązaniem nierówności jest przedział zawarty miedzy punktami - 4 i - 3 ale razem z tymi skrajnymi punktami przedziału [ ⟨przedział obustronnie domknięty⟩ ]. na osi 0x punkty takiego przedziału zaznacza się pełną pogrubiona kropką - gdyby w nierówności występował znak < 0, wtedy przedział nie zawierał by tych punktów skrajnych [ (przedział otwarty) ] a na osi 0x taki przedział zaznacza się dużą kropką (a raczej kółeczkiem) w środku pustą.
Ostatecznie rozwiązaniem nierówności jest przedział: Odpowiedź:
- 4 ≤ x ≤ - 3 ⇒ x ∈ ⟨-4, -3⟩
b) - (x - 5)(x + 1) > 0 Na podstawie analizy przeprowadzonej w przykładzie a), widzimy, że współczynnik przy x², a < 0, to parabola skierowana jest wierzchołkiem do góry, miejsca zerowe są x1 = - 1, x2 = 5, znak nierówności jest > 0, a więc rozważamy ten kawałek wykresu paraboli, który leży nad osią 0x.
Szukanym rozwiązaniem nierówności jest przedział na osi 0x zawarty między punktami - 1 i 5, ale bez tych skrajnych punktów przedziału [ (przedział otwarty) ].
Rozwiązaniem nierówności jest przedział - 1 < x < 5 ⇒ x ∈ (-1, 5)
c) 2x(x + 6) ≥ 0 Na podstawie analizy jak w przykładzie a) widzimy, że współczynnik a > 0, a więc parabola skierowana jest wierzchołkiem do dołu, miejscami zerowymi są punkty na osi 0x: x1 = - 6, x2 = 0.
Znak nierówności jest ≥ 0, a więc rozważamy ten (("kawałek wykresu")), który leży nad osią 0x) :)
((Bardzo przepraszam, może to się da "wyciąć" bo już nie kawałek a wielki wielki wielki kawał wykresu, bo zabraknie kartek zeszytów w całej szkole ..., zabraknie obszaru całej Polski, by ten wykres paraboli narysować, ale płaszczyzna, na której byśmy chcieli ten wykres narysować rozprzestrzeni się w nieograniczoną przestrzeń wszechświata..., minie wszystkie gwiazdy i planety, od których jeszcze światło do nas nie doleciało i dalej będzie leciała..., bo jak sobie wyobrazić w przestrzeni jakieś ograniczenie dla + czy - ∞ nieskończoności ..., bo gałęzie tej paraboli będą się właśnie rozprzestrzeniać od lewej strony od - ∞ do punktu - 6, ale razem z punktem - 6, a z prawej strony od punktu 0 razem z punktem 0 do + ∞ nieskończoności.))
(Czas zejść z powrotem na ziemię):
Rozwiązaniem nierówności jest przedział, z lewej strony paraboli ograniczony od - ∞ < x ≤ -6, z prawej strony 0 ≤ x < + ∞ to
(- ∞ < x ≤ - 6) ∨ (0 ≤ x < + ∞) ⇒ x ∈ {(- ∞ < x ≤ - 6⟩ ∪ ⟨0 ≤ x + ∞)}