Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{a_n=2\cdot(-\sqrt5)^{n-1}\ \vee\ a_n=2\cdot(\sqrt5)^{n-1}}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]a_1=2\\\\a_5-a_3=40[/tex]
Jest to ciąg geometryczny. W związku z tym:
[tex]a_3=a_1q^2\to a_3=2q^2\\\\a_5=a_1q^4\to a_5=2q^4[/tex]
podstawiamy:
[tex]2q^4-2q^2=40\qquad|:2\\\\q^4-q^2=20\qquad|-20\\\\q^4-q^2-20=0\\\\q^4+4q^2-5q^2-20=0\\\\q^2(q^2+4)-5(q^2+4)=0\\\\(q^2+4)(q^2-5)=0\iff q^2+4=0\ \vee\ q^2-5=0\\\\q^2+4=0\to q^2=-4-\text{sprzecznosc}\\\\q^2-5=0\qquad|+5\\q^2=5\to q=\pm\sqrt5[/tex]
Wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego:
[tex]a_n=a_1q^{n-1}[/tex]
podstawiamy:
[tex]a_n=2\cdot(-\sqrt5)^{n-1}\ \vee\ a_n=2\cdot(\sqrt5)^{n-1}[/tex]
