Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{\dfrac{6}{7}m\ i\ \dfrac{8}{7}m}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Rysunek poglądowy w załączniku.
[tex]a[/tex] - długość boku kwadratu
[tex]x[/tex] - jednostka długości boków prostokąta
[tex]4a[/tex] - obwód kwadratu
[tex]2(3x+x)=2\cdot4x=8x[/tex] - obwód prostokąta
[tex]2m[/tex] - długość drutu
Równanie:
[tex]4a+8x=2\qquad|-8x\\\\4a=2-8x\qquad|:4\\\\a=\dfrac{1}{2}-2x[/tex]
[tex]a^2[/tex] - pole kwadratu
[tex]3x\cdot x=3x^2[/tex] - pole prostokąta
[tex]a^2+3x^2[/tex] - suma pól
Podstawiamy wcześniej wyznaczone [tex]a[/tex]:
[tex]\left(\dfrac{1}{2}-2x\right)^2+3x^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot2x+(2x)^2+3x^2=\dfrac{1}{4}-2x+4x^2+3x^2\\\\=7x^2-2x+\dfrac{1}{4}[/tex]
Otrzymujemy funkcję kwadratową:
[tex]f(x)=7x^2-2x+\dfrac{1}{4}[/tex]
Współczynnik przy [tex]x^2[/tex] wynosi [tex]7>0[/tex], zatem ramiona paraboli, która jest wykresem tej funkcji są skierowane w górę. W związku z tym funkcja przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku paraboli.
Współrzędne wierzchołka paraboli:
[tex]f(x)=ax^2+bx+c\\\\W(p,\ q)\\\\p=\dfrac{-b}{2a},\ q=f(p)=\dfrac{-(b^2-4ac)}{4a}[/tex]
Podstawiamy:
[tex]f(x)=7x^2-2x+\dfrac{1}{4}\\\\a=7,\ b=-2,\ c=\dfrac{1}{4}\\\\p=\dfrac{-(-2)}{2\cdot7}=\dfrac{2}{14}=\dfrac{1}{7}[/tex]
Czyli
[tex]x=p\to x=\dfrac{1}{7}(m)[/tex]
Obliczamy wartość [tex]a[/tex]:
[tex]a=\dfrac{1}{2}-2\cdot\dfrac{1}{7}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{7}=\dfrac{7}{14}-\dfrac{4}{14}=\dfrac{3}{14}[/tex]
Obliczamy teraz długości kawałków drutu:
[tex]4a=4\cdot\dfrac{3}{14}=2\cdot\dfrac{3}{7}=\dfrac{6}{7}(m)\\\\8x=8\cdot\dfrac{1}{7}=\dfrac{8}{7}(m)[/tex]
