[tex]x(t)=c_1(e^{ct}+e^{-ct})\\y(t)=c_2(e^{ct}-e^{-ct})\\\\\dot{x}=c_1c(e^{ct}-e^{-ct})\\\dot{y}=c_2c(e^{ct}+e^{-ct})\\\\\ddot{x}=c_1c^2(e^{ct}+e^{-ct})=c^2x\\\ddot{y}=c_2c^2(e^{ct}-e^{-ct})=c^2y\\\\\vec{F}=mc^2}[x;y][/tex]
Siła nie zależy jawnie od czasu, ani prędkości, a jest jedynie funkcją położenia. Dodatkowo:
[tex]\nabla\times\vec{F}=[0;0;0][/tex]
zgodnie z teorią pola, mamy w tej sytuacji do czynienia z polem potencjalnym. Można również pokazać, że praca w polu siły F nie zależy od trajektorii lub, że praca po zamkniętym konturze wynosi 0.
Wynika z tego, że siła F jest zachowawcza.
[tex]F=-\nabla E_p=mc^2[x;y]\\E_p=-\frac{mc^2}{2}(x^2+y^2)[/tex]
gdzie przyjąłem zero energii potencjalnej w punkcie (0;0)
Zauważmy, że:
[tex]E=T+E_p=\frac{mV^2}{2}-\frac{mc^2}{2}(x^2+y^2)\\E=\frac{mc^2}{2}(\frac{c_1^2}{c_2^2}y^2+\frac{c_2^2}{c_1^2}x^2)-\frac{mc^2}{2}(x^2+y^2)\\E=\frac{mc^2}{2}[(\frac{c_2^2}{c_1^2}-1)x^2+(\frac{c_1^2}{c_2^2}-1)y^2]\\E=\frac{mc^2}{2}(c_2^2-c_1^2)(\frac{x^2}{c_1^2}-\frac{y^2}{c_2^2})\\E=2mc^2(c_2^2-c_1^2)=const[/tex]
(wykorzystałem tu własność cosh²α-sinh²α=1)
czyli zaiste energia jest zachowana.
pozdrawiam
