Odpowiedź:
Długości krawędzi bocznych ostrosłupa wynoszą 4, 4√2, 4√3, 4√2, cm,
Pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest równe Pb = (16 +16√2) cm²
Pole podstawy ostrosłupa jest równe Pp = 16 cm²
Szczegółowe wyjaśnienie:
Z treści zadania wynika, ze:
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku a = 4 cm,
Jedna z krawędzi bocznych (tylko jedna krawędź boczna) jest prostopadła do krawędzi podstawy (a więc jest prostopadła również do płaszczyzny podstawy) i ma długość również a = 4 cm.
Wszystkie 4 ściany boczne są trójkątami:
Dwie ściany boczne są prostopadłe do podstawy, mają wspólną krawędź boczną a, podstawą tych 2 trójkątów są boki kwadratu a i wysokości równej krawędzi pionowej a, więc łączne pole P1 tych 2 ścian bocznych wynosi P1 = a²/2 + a²/2 = a² = 4² = 16
Obliczymy teraz długość przekątnej podstawy ostrosłupa c (kwadratu)
z tw. Pitagorasa, c² = a² + a² = 2a² to c = a√2 = 4√2
Długość c = 4√2 mają również krawędzie boczne tych dwóch ścian bocznych prostopadłych do podstawy.
Obliczymy teraz długość wspólnej krawędzi bocznej skośnej d dwóch pozostałych ścian bocznych, którą jest przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a i c, to d² = a² + p² = a² + 2a² = 3a²
to d = a√3 = 4√3
Te dwie pozostałe ściany boczne są dowolnymi trójkątami przystającymi
o bokach: 4, 4√2, 4√3, więc pozostaje nam obliczyć pole tych trójkątów ze wzoru Herona: S = √[p(p - a)(p - b)(p - c)] gdzie boki trójkąta:
a = 4, b = 4√2, c = 4√3,
Połowa obwodu trójkąta p = (4 + 4√2 + 4√3)/2 = 2 + 2√2 + 2√3
Po długich rachunkach obliczono pole jednego trójkąta: S = 8√2 więc
pole tych dwóch pozostałych ścian bocznych jest równe
P2 = 2S = 2•8√2 = 16√2 cm² to pole wszystkich czterech ścian bocznych jest równe Pb = P1 + P2 = (16 +16√2) cm²
Pole podstawy ostrosłupa jest polem kwadratu o boku 4 cm
to Pp = 16 cm²
Ostatecznie: Porównując pole powierzchni bocznej Pb = (16 +16√2) cm² do pola podstawy Pp = 16 cm² widzimy, ze pole powierzchni bocznej jest większe od pola podstawy o 16√2 cm², co należało wykazać.