Odpowiedź:
[tex]16\sqrt{3}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Narysujmy trójkąt równoboczny o boku długości [tex]a[/tex]. Wówczas poprowadzona wysokość podzieli podstawę tego trójkąta na dwa odcinki długości [tex]\frac{a}{2}[/tex]. Zauważmy, że powstał trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości [tex]h[/tex] (długość wysokości trójkąta) i [tex]\frac{a}{2}[/tex], a przeciwprostokątna - długość [tex]a[/tex]. Z twierdzenia Pitagorasa:
[tex](\frac{a}{2})^2 + h^2 = a^2\\\frac{a^2}{4} + h^2 = a^2\\h^2 = \frac{3a^2}{4}[/tex]
Stąd wnioskujemy, że [tex]h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex]. Znaleźliśmy związek między długością wysokości a długością boku trójkąta równobocznego. Skorzystajmy z niego dla danych z zadania - [tex]h = 4\sqrt{3}[/tex]:
[tex]\frac{a\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\\a\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\\a = 8[/tex]
Znaleźliśmy długość boku trójkąta. Teraz skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta [tex]P = \frac{ah}{2}[/tex].
[tex]P = \frac{8 \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3}[/tex]
