Odpowiedź:
7. Współrzędne punktu przecięcia się przekątnych tego równoległoboku są równe: x = 1/2 i y = 3, jest to środek równoległoboku S: S(x, y) = S(1/2, 3)
8. Obwód = 6√2 + 6√2 + 6 + 6√3 = 6(2√2 +√3 + 1)
Szczegółowe wyjaśnienie:
Ogólnie:
7. Równanie prostej w postaci kierunkowej o współczynniku kierunkowym m: y = mx + n, jeżeli punkt M(x1, y1) leży na prostej L, więc jego współrzędne spełniają równanie tej prostej, to y1 = mx1 + n.
Odejmując stronami te równania, otrzymamy równanie prostej przechodzącej przez dany punkt.
y = mx + n
y1 = mx1 + n
___________
y - y1 = m(x - x1), gdzie n - n = 0, zredukowało się.
Jeżeli prosta ma przechodzić przez drugi punkt N(x2, y2), więc jego współrzędne spełniają równanie prostej L, to otrzymamy równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty: y2 - y1 = m(x2 - x1), stąd mamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty:
m = (y2 - y1)/(x2 - x1). gdzie m = tgα [tangens kąta nachylenia prostej L do osi 0x]
Wracając do danych zadania, należy odpowiednio podstawić współrzędne punktów:
Równanie przekątnej AC: A(-7, -2); C(8, 8) to m = (8 + 2)/(8 + 7) to
m =10/15 = 2/3, to z równania: y - y1 = m(x - x1) mamy równanie przekątnej AC: y + 2 = (2/3)(x + 7) to y = (2/3)(x + 7) - 2 /•3 to
3y = 2(x + 7) - 6 = 2x + 14 - 6 = 2x +8 to 3y = 2x +8 /:3 to y = 2x/3 + 8/3
Równanie przekątnej BD: B(5, 1); D(-4, 5) to m = (5 - 1)/(- 4 - 5) = 4/-9 = - 4/9
to mamy równanie przekątnej BD: y - 1 = (-4/9)(x - 5) to
y = (-4/9)(x - 5) + 1 /•9 to 9y = - 4x + 20 + 9 = - 4x + 29 to
9y = - 4x + 29 /:9 to y = - 4x/9 + 29/9
Punkt przecięcia znajdziemy porównując te równania podkreślone dla y to 2x/3 + 8/3 = - 4x/9 + 29/9 /•9 [mnożymy obie strony równania przez wspólny mianownik 9] to 6x + 24 = - 4x + 29 to 10x = 5 to x = 1/2
Teraz obliczoną już współrzędną x = 1/2 podstawiamy do jednego lub drugiego z równań podkreślonych na y (prościej będzie do y = 2x/3 + 8/3 ) to y = (2•1/2)•(1/3) + 8/3 = 1/3 + 8/3 = 9/3 = 3.
Mamy już obie współrzędne punktu przecięcia się przekątnych tego równoległoboku: x = 1/2 i y = 3, a więc w punkcie (w środku równoległoboku S) S(x, y) = S(1/2, 3)
Na końcu dobrze jest na jakimś papierze w kratkę, w układzie współrzędnych 0xy dokładnie wyznaczyć punkty A, B, C, D; połączyć punkty A, C i B, D linią prostą, wtedy wyznaczymy graficznie (wykreślnie) współrzędne punkt przecięcia się przekątnych równoległoboku i w ten sposób sprawdzimy, że w rozwiazywaniu zadania nie popełniono błędu.
8. Trójkąt BCD jest połową trójkąta równobocznego o boku BD = a = 12 cm, więc przekątna BD jest jednocześnie przeciwprostokątną tego trójkąta, a bok BC jest połową podstawy trójkąta równobocznego, więc BC = 6 cm.
Z trójkąta BCD "czyta się wprost" ważne twierdzenie, które często daje wynik bez potrzeby obliczania, mianowicie: W trójkącie prostokątnym bok
leżący na przeciw kąta 30º jest połową przeciwprostokątnej - a więc bez liczenia od razu widzimy, że BC jako połowa boku BD, BC = 6 cm.
Bok BC można też łatwo wyznaczyć z funkcji trygonometrycznej:
BC/BD = sin30º = 1/2 to BC = (BD)•sin30º = 12•sin30º = 12/2 = 6 cm
a bok CD/BD = cos30º = √3/2 to CD = (BD)•cos30º = (BD)•√3/2 to
CD = 12•√3/2 = 6√3.
Bok CD możemy również obliczyć z tw. Pitagorasa, wtedy wyjdzie nam wzór na wysokość h trójkąta równobocznego o boku a = 12,
CD = h = a√3/2 = 6√3
Boki AB i AD są równe, jako boki kwadratu o boku a i przekątnej
p = BD= 12 cm. Można te boki obliczyć z funkcji trygonometrycznej:
AB/p = AD/p = sin45 = cos45º = 1/√2 = √2/2 to
AB = AD = p•sin45º = p•cos45º = p/√2 = p√2/2 = 12√2/2 = 6√2
Dla sprawdzenia podstawimy AB = AD = a i obliczymy z tw. Pitagorasa:
a² + a² = p² to 2a² = p² /√ [pierwiastkujemy obie strony równania /√]
to √(2a²) = √(p²) to a√2 = p to a = p/√2 = [licznik i mianownik mnożymy przez √2] to a = p√2/2 = 12√2/2 = 6√2
Dodajemy wszystkie boki: AB = AD = 6√2 cm, BC = 6 cm, CD = 6√3
Obwód = 6√2 + 6√2 + 6 + 6√3 = 6(√2 + √2 + 1 + √3) = 6(2√2 +√3 + 1)
