Odpowiedź:
Zad 1
a) ramię trójkąta b = 25.
b) Obwód = 19 + 25 + 25 = 69
c) Pole P = 18•12/2 = 108
Zad 2
a) Promień okręgu opisanego na tym trójkącie r = 3√34/2
b) Obwód tego trójkąta jest równy 9 + 15 + 3√34 = 3(8 +√34)
c) Pole tego trójkąta jest równe: P = 9•15/2 = 67,5
Zad 3
a) Długość boku jest równa a = 11
b) Pole trójkąta P = 11²√3/4 = 121√3/4
c) Promień okręgu opisanego jest równy
R = (2/3)h R = (2/3)•a√3/2 = a√3/3 = 11√3/3
d) Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy
r = (1/3)•h = (1/3)•a√3/2 = a√3/6 = 11√3/6
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zad 1
Wysokość trójkąta równoramiennego dzieli podstawę trójkąta na połowę
i jest prostopadła do podstawy.
Z tego wynika, że połowa tego trójkąta równoramiennego, o przyprostokątnych: h = 12, połowa podstawy = 9, oraz przeciwprostokątną, która jest szukanym ramieniem trójkąta - jest trójkątem prostokątnym.
a) Ramię trójkąta (oznaczymy przez b) obliczymy z tw. Pitagorasa:
b² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225 = 25² /√ to [pierwiastkujemy obie (pogrubione) strony równania /√] to ramię trójkąta b = 25.
b) Obwód trójkąta składa się z: podstawa = 19, dwa ramiona, kazde = 25
to Obwód = 19 + 25 + 25 = 69
c) Pole trójkąta obliczamy z połowy iloczynu podstawa
18 razy wysokość 12, to Pole P = 18•12/2 = 108
Zad 2
Trzeba tu przytoczyć pewne twierdzenie:
Kąt wpisany w półokrąg oparty na średnicy jest kątem prostym.
To twierdzenia można wypowiedzieć na różne sposoby, np.:
Trójkąt prostokątny wpisany w okrąg opiera się na średnicy okręgu.
Albo np.: Średnica okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równa długości przeciwprostokątnej.
a) Z opisu w zadaniu wynika. że: Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne
9 i 15.
Więc średnica okręgu ma długość równą długości długości przeciwprostokątnej - średnicę okręgu d obliczymy z tw. Pitagorasa:
d² = 9² + 15² = 81 + 225 = 306= 9•34 /√ [pierwiastkujemy obie strony pogrubione równania] to średnica okręgu d = 3√34 to promień okręgu opisanego na trójkącie r = 3√34/2
b) Obwód tego trójkąta jest równy, obwód = 9 + 15 + 3√34 = 24 +3√34 =
= 3(8 +√34)
c) Za podstawę trójkąta możemy przyjąć dowolna przyprostokątną, Pole tego trójkąta jest równe: (połowa iloczynu podstawy i wysokości)
Pole tego trójkąta jest równe: P = 9•15/2 = 67,5
Zad 3
W trójkącie równobocznym o boku a wysokość trójkąta h dzieli podstawę trójkąta na połowy, dla połowy trójkąta można łatwo obliczyć z tw. Pitagorasa wzór na wysokość trójkąta równobocznego h = a√3/2a)
Z treści zadania mamy, że h = 11√3/2 = a√3/2 - trójkąt równoboczny jest szczególnym przypadkiem trójkąta równoramiennego i nie ma innego trójkąta równoramiennego, który by spełniał wzór na wysokość
h =11√3/2 = a√3/2, taki wzór może spełniać tylko trójkąt równoboczny o boku a = 11.
Odpowiedź: Długość boku jest równa a = 11
b) Mając już wysokość h trójkąta równobocznego o boku a, należy podstawić do wzoru na pole trójkąta P = ah/2 = a•(a√3/2)/2 = a²√3/4
to pole trójkąta P = 11²√3/4 = 121√3/4
c) Wysokości w trójkącie równobocznym przecinają się w jednym punkcie,
który dzieli wysokość trójkąta w stosunku 2/3 do 1/3.
Punkt ten jest środkiem trójkąta, (środkiem ciężkości trójkąta), jednocześnie jest środkiem okręgu wpisanego i opisanego na tym trójkącie.
Promień okręgu opisanego na trójkącie i wpisanego w trójkąt wynika z tego, że: Wysokości w trójkącie równobocznym przecinają się w jednym punkcie, który dzieli wysokość trójkąta w stosunku 2/3 do 1/3
Więc promień okręgu opisanego jest równy
R = (2/3)h gdzie h = a√3/2 to R = (2/3)•a√3/2 = a√3/3 = 11√3/3
d) Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy
r = (1/3)•h = (1/3)•a√3/2 = a√3/6 = 11√3/6