Witaj :)
Mamy daną nierówność wymierną postaci:
[tex]\Large \boxed{-\frac{1}{x+4} +\frac{3x}{x-1}<2}[/tex]
Pierwszą rzeczą, którą musimy zrobić w przypadku nierówności wymiernej, gdy mamy niewiadomą w mianowniku, to wyznaczenie dziedziny:
[tex]x+4\neq 0\ \ \ \wedge \ \ \ x-1\neq 0\\x\neq -4\ \ \ \wedge \ \ \ \ x\neq 1[/tex]
Więc dziedziną będzie zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z pominięciem -4 oraz 1. Możemy zapisać, że:
[tex]D= \mathbb R \setminus \{-4\ ;\ 1\}[/tex]
Gdy już mamy wyznaczoną dziedzinę przenosimy wszystko w naszej nierówności na lewą stronę (aby po prawej było 0):
[tex]\Large \boxed{-\frac{1}{x+4} +\frac{3x}{x-1}-2<0}[/tex]
Musimy teraz sprowadzić naszą nierówność do wspólnego mianownika. wspólnym mianownikiem dla wszystkich czynników będzie (x+4)(x-1):
[tex]\Large \boxed{\frac{-1(x-1)+3x(x+4)-2(x+4)(x-1)}{(x+4)(x-1)} <0}[/tex]
Zredukujmy licznik:
[tex]\Large \boxed{\frac{-x+1+3x^2+12x-2x^2+2x-8x+8}{(x+4)(x-1)} <0}\\\\\\\\\Large \boxed{\frac{x^2+5x+9}{(x+4)(x-1)}<0}[/tex]
Zauważamy, że zarówno w liczniku, jak i mianowniku mamy wielomiany:
[tex]W(x)=x^2+5x+9\\\\Q(x)=(x+4)(x-1)[/tex]
Więc mamy nierówność postaci:
[tex]\Large \boxed{\frac{W(x)}{Q(x)} <0}[/tex]
Taką nierówność możemy zamienić na iloczyn tych wielomianów, jeśli
Q(x) >0. Wobec czego otrzymamy nierówność postaci:
[tex]\Large \boxed{W(x)\cdot Q(x)<0 }[/tex]
Więc naszą nierówność zapiszemy jako:
[tex]\Large \boxed{(x^2+5x+9)(x+4)(x-1)<0}[/tex]
Otrzymaliśmy nierówność wielomianową. Wyznaczamy miejsca zerowe tej nierówności:
[tex]x^2+5x+9=0\\\\a=1\\b=5\\c=9\\\\\Delta =b^2-4ac= 5^2-4\cdot 1\cdot 9=25-36=-11<0\ \ brak\ rozwiazan\\\\x\notin \mathbb R[/tex]
[tex](x+4)(x-1)=0 \\\\x+4=0\ \ \ \vee \ \ \ x-1=0\\x=-4 \ \ \ \ \ \ \vee \ \ \ x=1[/tex]
Mamy dwa rozwiązania. x = -4, oraz x = 1.
ODP.: [tex]x\in (-4\ ; \ 1)[/tex]
