Odpowiedź i wyjaśnienie:
1)
a1 = 2 , q = 3 , Sn = 6560
n = ?, an = ?
Korzystam ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu, gdzie iloraz q ≠ 1 :
[tex]Sn = a1 * \frac{1 - q^{n} }{1 - q}[/tex]
Podstawiam dane do wzoru i wyznaczam wartość ''n'' :
[tex]6560 = 2 * \frac{1 - 3^{n}}{1 - 3}[/tex]
[tex]6560 = - 1 + 3^{n}[/tex]
[tex]6560 + 1 = 3^{n}[/tex]
[tex]3^{n} = 6561[/tex]
[tex]3^{n} = 3^{8}[/tex]
[tex]n = 8[/tex]
Aby wyznaczyć an ,korzystam ze wzoru na dowolny wyraz ciagu geometrycznego:
[tex]an = a1 * q^{n - 1}[/tex]
[tex]a8 = 2 * 3^{8 - 1}[/tex]
[tex]a8 = 2 * 3^{7}[/tex]
[tex]a8 = 2 * 2187[/tex]
[tex]a8 = 4374[/tex]
Odp: n = 8,
an = a8 = 4374 .
2)
Liczby : 3,x,y tworzą ciąg geometryczny.
korzystam z zależności pomiędzy kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego:
(a2)² = a1 *a3
więc:
[tex]x^{2} = 3 * y[/tex]
Liczby : x, y, 18 tworzą ciąg arytmetyczny.
Korzystam z zależności pomiędzy kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego:
[tex]a2 = \frac{a1 + a2}{2}[/tex]
więc:
[tex]y = \frac{x + 18}{2}[/tex]
Tworzę układ równań i wyznaczam wartości "x '' i ''y '' :
∫x² = 3 * y
∫[tex]y = \frac{x + 18}{2}[/tex]
∫x² = 3 * [tex]\frac{x + 18}{2}[/tex]
[tex]x^{2} = \frac{3x + 54}{2} /*2[/tex]
2x² = 3x + 54
2x² - 3x - 54 = 0
Teraz rozwiązuję równanie kwadratowe:
a = 2 , b = - 3 , c = - 54
Δ = b² - 4ac
Δ = (- 3)² - 4 * 2 * (- 54) = 9 + 432 = 441
√Δ = 21
[tex]x1 = \frac{3 - 21}{4} = \frac{- 18}{4} = - 4,5[/tex]
[tex]x2 = \frac{3 + 21}{4} = \frac{24}{4} = 6[/tex]
Gdy :
x = - 4,5
wtedy :
[tex]y = \frac{ - 4,5 + 18}{2} = \frac{13,5}{2} = 6,75[/tex]
A gdy :
x = 6
wtedy :
[tex]y = \frac{6 + 18}{2} = \frac{24}{2} = 12[/tex]
Odp : liczba x = - 4,5 , wtedy y = 6,75 ,
lub :
liczba x = 6 , wtedy y = 12 .
