Odpowiedź:
[tex]\frac{x-1}{x}+\frac{x-2}{x}+\frac{x-3}{x}+...+\frac{2}{x}+\frac{1}{x}= 3[/tex]
Zakładamy, że [tex]x[/tex] ∈ [tex]R[/tex] \ {0}.
Pomnóżmy nasze równanie przez [tex]x[/tex], otrzymując:
[tex](x-1)+(x-2)+(x-3)+...+2+1=3x[/tex]
[tex]1+2+3+...+(x-2)+(x-1)=3x[/tex]
Zauważmy, że [tex]1+2+3+...+(x-2)+(x-1)[/tex] jest sumą początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy r=1 , w którym:
[tex]a_1=1\\a_n=x-1[/tex].
Wystarczy zatem obliczyć n. Korzystamy ze wzoru ogólnego ciągu. arytmetycznego ( [tex]a_n=a_1+(n-1)r[/tex] ).
[tex]x-1=1+1(n-1)\\x-2=n-1\\n=x-1[/tex]
Stosujemy teraz wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, czyli [tex]S_n=\frac{a_1+a_n}{2}*n[/tex].
[tex]1+2+3+...+(x-2)+(x-1)=3x\\\frac{1+x-1}{2}*(x-1)=3x\\\frac{x(x-1)}{2}=3x\\x(x-1)=6x\\x^2-x=6x\\x^2-7x=0\\x(x-7)=0\\[/tex]
[tex]x=0[/tex] lub [tex]x=7[/tex]
Ze względu na dziedzinę, musimy odrzucić rozwiązanie [tex]x=0.[/tex]
Odp. Rozwiązaniem równania jest liczba [tex]x=7.[/tex]
