[tex]\frac{n}{4} = x\ \textup{r.}\ 1 \iff n = 4x + 1[/tex] (gdzie [tex]n \in \mathbb{N}[/tex])
Dla każdego [tex]n[/tex] jak wyżej [tex]i^n = i[/tex], czyli inaczej [tex]i^{4x + 1} = i[/tex]
Na przykład
[tex]21:4 = 5\ \textup{r.}\ 1[/tex], ponieważ [tex]21 = 4 \cdot 5 + 1[/tex]
[tex]i^{21} = \left( i^2 \right)^{10} \cdot i = \left( -1 \right) ^ {10} \cdot i = i[/tex]
Albo
[tex]i^9 = i^2 \cdot i^2 \cdot i^2 \cdot i^2 \cdot i = -1 \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot i = i[/tex]
Czyli też
[tex]i^{1237} = i^{4\cdot309+1} = i[/tex]
Itd.