Odpowiedź:
zad 1
an = - 2n² - 8n ; n ∈ N⁺
- 2n² - 8n = 0
- 2n(n +4) = 0
- 2n = 0 ∨ n + 4 = 0
n = 0 ∨ n = - 4
Ponieważ każdy z wyników nie spełnia warunku n ∈ N⁺ , więc ciąg nie ma wyrazu równego 0
zad 2
a₆ - a₄ = 1
a₅ + a₁₃ = 16
a₁ +5r - a₁ +3r = 1
a₁ + 4r + a₁ + 12r = 16
8r = 1
2a₁ + 16r = 16
r = 1/8
2a₁ + 16 * 1/8 = 16
2a₁ + 2 = 16
2a₁ = 16 - 2 = 14
a₁ = 14/2 = 7
zad 3
a₁ = m²
a₂ = - 5m
a₃ = - 3m + 10
a₃ - a₂ = a₂ - a₁
- 3m + 10 + 5m = - 5m - m²
2m + 10 = - 5m - m²
m² + 2m + 5m + 10 = 0
m² + 7m + 10 = 0
Δ = 7² - 4 * 1 * 10 = 49 - 40 = 9
√Δ = √9 = 3
m₁ = ( - 7 - 3)/2 = - 10/2 = - 5
m₂ = (- 7 + 3)/2 = - 4/2 = - 2
zad 4
Liczba jest podzielna przez 4 , gdy dwie ostatnie liczby są podzielne przez 4
Liczby dwucyfrowe podzielne przez 4 , to :
12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 , 36 , 40 , 44 , 48 , 52 , 56 , 60 , 64 , 68 , 72 , 76 , 80 , 84 , 88 , 92 , 96
a₁ = 12
an = a₁ + (n - 1) * r = 12 + (n -1) * 4 = 12 + 4n - 4 = 4n + 8
98 = 4n + 8
4n = 96 - 8 = 88
n = 88 : 4 = 22
S₂₂ = (a₁ + a₂₂) * 22/2 = (12 + 96) * 11 = 108 * 11 = 1188
zad 5
a₃ =a₁ + 2r = 0
a₈ = a₁ + 7r = 15
a₁ + 2r = 0
a₁ + 7r = 15
odejmujemy równania
a₁ - a₁ + 2r - 7r = 0 - 15
- 5r = - 15
5r = 15
r = 15/5 = 3
a₁ + 2r = 0
a₁ + 2 * 3 = 0
a₁ + 6 = 0
a₁ = - 6
an = a₁ + (n - 1) * r = - 6 + (n - 1) * 3 = - 6 + 3n - 3 = 3n - 9
zad 6
an = 3n² - 9n
a(n +1) = 3(n + 1)² - 9(n + 1) = 3(n² + 2n + 1) - 9n - 9 = 3n² + 6n + 3 - 9n - 9 =
= 3n² - 3n - 6
a(n +1) - an = 3n² - 3n - 6 - 3n² + 9n = 6n - 6
Ponieważ n ∈ N⁺ , więc 6n - 6 ≥ 0
Ci jest ciągiem niemalejacym
zad 7
Sn = n² - 5n
Sn = (a₁ + aₙ) * n/2
2Sn = (a₁ + aₙ) * n
2Sn = a₁n + aₙn
aₙn = 2Sn/a₁n
aₙ = 2Sn/a₁n² = 2(n² - 5n)/a₁n²
