Odpowiedź:
nowej - dopełniacz, rodzaj żeński, liczba pojedyncza
idealną - narzędnik, rodzaj żeński, liczba pojedyncza
królewskim - narzędnik lub miejscownik (zależy od kontekstu zdania), rodzaj męski, liczba pojedyncza
LUB
królewskim - celownik, rodzaj męskoosobowy lub niemęskoosobowy, liczba mnoga
wyjaśnienie:
Wyraz "królewskim" może odnosić się zarówno do jednej, jak i wielu rzeczy, np.:
Idę (z kim? z czym?) z królewskim doradcą.
Przyglądam się (komu? czemu?) królewskim pałacom.