Odpowiedź:
|CD| = 40
Szczegółowe wyjaśnienie:
Dane: |AB| = 48
|EF| = 4
|AE| = |EC| i |BE| = |ED|
P - punkt przecięcia przekątnych
Odcinek łączący środki przekątnych trapezu jest równoległy do podstaw trapezu, czyli na mocy twierdzenia o dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą, kąty odpowiadające i naprzemianległe utworzone przez te proste mają takie same miary.
Stąd:
|∡BAP| = |∡FEP| ∧ |∡APB| = |∡EPF| ∧ |∡ABP| = |∡EFP| ⇒ ΔABP~ΔEFP
|∡DCP| = |∡FEP| ∧ |∡CPD| = |∡EPF| ∧ |∡DCP| = |∡EFP| ⇒ ΔCDP~ΔEFP
Czyli możemy skorzystać z własności trójkątów podobnych.
Żeby przekształcenia były przejrzystsze, wprowadzam dodatkowe oznaczenia:
|AE| = |EC| = x
|EP| = y
Zatem:
[tex]\triangle ABP\sim \triangle EFP\quad \implies \quad \dfrac {x+y}y=\dfrac{48}4\\\\\dfrac {x+y}y=12\qquad/\cdot y\\\\x+y=12y\\\\x=11y[/tex]
oraz:
[tex]\triangle CDP\sim \triangle EFP\quad \implies \quad \dfrac {x-y}y=\dfrac{b}4 \\\\\dfrac {11y-y}y=\dfrac b4\qquad/\cdot 4\\\\\dfrac {10y}y\cdot4=b\\\\b=10\cdot4\\\\b=40[/tex]
