Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{3+\sqrt3,\ 1+\sqrt3}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Patrz załączniki.
Zadanie możemy rozwiązać na różne sposoby. Przedstawię dwa.
SPOSÓB 1.
Oprzemy się na załączniku 2, z którego możemy wywnioskować równość:
[tex](a-2)\sqrt3=a\\\\a\sqrt3-2\sqrt3=a\qquad|+2\sqrt3-a\\\\a\sqrt3-a=2\sqrt3\\\\a(\sqrt3-1)=2\sqrt3\qquad|:(\sqrt3-1)\\\\a=\dfrac{2\sqrt3}{\sqrt3-1}\cdot\dfrac{\sqrt3+1}{\sqrt3+1}\\\\a=\dfrac{2\sqrt3\cdot(\sqrt3+1)}{(\sqrt3)^2-1^2}\\\\a=\dfrac{2\sqrt3\cdot(\sqrt3+1)}{3-1}\\\\a=\dfrac{2\!\!\!\!\diagup\sqrt3\cdot(\sqrt3+1)}{2\!\!\!\!\diagup}\\\\a=\sqrt3\cdot(\sqrt3+1)\\\\a=3+\sqrt3[/tex]
[tex]a-2=3+\sqrt3-2=1+\sqrt3[/tex]
SPOSÓB 2.
Też oprzemy się na załączniku 2. Przekątna tego prostokąta będzie wyrażać się:
[tex]d=2(a-2)=2a-4[/tex]
Skorzystamy teraz z twierdzenia Pitagorasa:
[tex](a-2)^2+a^2=(2a-4)^2\\\\a^2-4a+4+a^2=4a^2-16a+16\\\\2a^2-4a+4=4a^2-16a+16\qquad|-4a^2+16a-16\\\\-2a^2+12a-12=0\qquad|:(-2)\\\\a^2-6a+6=0\qquad|+3\\\\a^2-6a+9=3\\\\(a-3)^2=3\to a-3=\pm\sqrt3\qquad|+3\\\\a=3-\sqrt3\ \vee\ a=3+\sqrt3[/tex]
Jako, że [tex]a[/tex] i [tex]a-2[/tex] są długościami odcinków. Stąd
[tex]a>0\ \wedge\ a-2>0\\\\a>0\ \wedge\ a>2\Rightarrow a>2[/tex]
W rozwiązaniach mamy
[tex]a=3-\sqrt3<2[/tex] - nie spełnia warunku
[tex]a=3+\sqrt3>2[/tex] - spełnia warunek
Zatem druga długość jest rozwiązaniem.
[tex]a-2=3+\sqrt3-2=1+\sqrt3[/tex]
