Odpowiedź :
Odpowiedź:
Zad 1. Oblicz pole i obwód tego trapezu.
Pole P = (a + b)•h/2 = (14 + 4)•5√3/2 = 45√3 cm²
Obwód = 14 + 4 + 10 + 10 = 38 cm.
Zad. 2 "Punkty A=(-3, 2) i B=(4, -3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC. Oblicz długość boku AB oraz pole tego trójkąta."
Długość boku AB jest równa lABl = AB = √74
(do obliczenia pola brak jest danych w treści zada).
Zad. 3
Obwód rombu jest równy 4•a = 4•2√43 = 8√43
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zad. 1
Trapez jest równoramienny, kąty przy dłuższej podstawie wynoszą po 60º.
Poprowadzimy wysokość h, która wyznaczy nam trójkąt prostokątny o kątach 60º i 30º i przeciwprostokątnej 10 cm.
Możemy zauważyć, ze ten trójkąt prostokątny jest polową trójkąta równobocznego o boku a = 10 cm, więc wysokość h odcina na dłuższej podstawie odcinek równy połowie boku a (bo wysokość h w trójkącie równobocznym dzieli nam kąt wierzchołkowy 60º oraz podstawę na dwie równe części, - na połowę).
Z trójkąta równobocznego wprost czyta się ważne twierdzenie, które często pozwala bez liczenia dać wyniki, mianowicie:
W trójkącie prostokątnym bok leżący na przeciw kąta 30º jest połową przeciwprostokątnej.
A więc wysokości trapezu odcinają nam na dłuższej podstawie po obu stronach odcinki po 5 cm, więc długość dolnej podstawy wynosi:
a = 5 + 4 + 5 = 14 cm (gdzie a jest tutaj długością dłuższej podstawy). Wysokość h można obliczyć z tw. Pitagorasa albo z funkcji sin czy cos a nawet tg, jak kto woli, np., h/10 = sin60º to h = 10 sin60º = 10√3/2 = 5√3 cm, możemy zauważyć, ze jest to przecież znany wzór na wysokość trójkąta równobocznego, h = a√3/2
Ostatecznie:
Pole P = (a + b)•h/2 = (14 + 4)•5√3/2 = 45√3 cm²
Obwód = 14 + 4 + 10 + 10 = 38 cm.
Zad 2.
"Punkty A=(-3, 2) i B=(4, -3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC. Oblicz długość boku AB oraz pole tego trójkąta."
Długość odcinka AB można różnie obliczyć, np., można na odcinku
AB jako przeciwprostokątnej zbudować trójkąt prostokątny o długościach
przyprostokątnych równych 7 i 5, (są to składowe odcinka AB na osi 0x i na osi 0y) więc z tw. Pitagorasa mamy:
(AB)² = 7² + 5² = 49 + 25 = 74 /√ to √(AB)² = √74 to
Długość boku AB jest równa lABl = AB = √74
(do obliczenia pola brak jest danych w treści zada).
Do obliczenia pola trójkąta musi być jeszcze podane: Albo współrzędne punktu C, albo długość wysokości trójkąta, albo chociaż równanie prostej zawierającej jedno ramię trójkąta - wtedy wyznaczyli byśmy prostą symetralną odcinka AB i z tego współrzędne punktu C, jako punktu przecięcia się tych prostych.
Zad 3. Przekątne rombu mają długość 20 i 12√2. Oblicz obwód tego
rombu.
Romb jak powszechnie wiadomo ma wszystkie cztery boki równe a, Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i w punkcie przecięcia dzielą się na polowy - tyle danych wystarczy do tego zadania.
Połowy przekątnych rombu mają długości: 10 i 6√2, są to przyprostokątne trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej równej bokowi rombu a, to z tw. Pitagorasa mamy:
a² = 10² + (6√2)² = 100 + 36•2 = 172 = 4•43 /√ to a = 2√43
Odpowiedź: Obwód rombu jest równy 4•a = 4•2√43 = 8√43
