Odpowiedź:
a)
f(x) = 1/2x² - 3x + 2 1/2
a= 1/2 , b = - 3 , c = 2 1/2
Δ = b² - 4ac = (- 3)² - 4 * 1/2 * 5/2 = 2 * 5/2 = 10/2 = 5
1.
Df: x ∈ R
2.
q - współrzędna y wierzchołka paraboli
q = - Δ/4a = - 5 : (4 * 1/2) =- 5 : 2 = - 5/2 = - 2 1/2
a > 0 , więc ramiona paraboli skierowane do góry , a funkcja ma najmniejszą wartość w wierzchołku
ZWf: y ∈ < - 2 1/2 , + ∞ )
3.
x₁ = (- b - √Δ)/2a = (3 - √5)/(2 * 1/2) = (3 - √5)/1 = 3 - √5
x₂ = (- b +√Δ)/2a = (3 + √5)/(2 * 1/2) = (3 + √5)/1 = 3 + √5
4.
f(x) > 0 dla x ∈ ( - ∞ , 3 - √5) ∪ ( 3 + √5 , + ∞ )
5.
f(x)↓(malejąca) ⇔ x ∈ (- ∞ , - b/2a) ⇒ x ∈ (- ∞ , 3 )
f(x)↑(rosnąca) ⇔ x ∈ ( - b/2a , + ∞) ⇒ x ∈ ( 3 , + ∞ )
6.
a > 0 , więc ramiona paraboli skierowane do góry i funkcja przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku
p - współrzędna x wierzchołka = - b/2a = 3/(2 *1/2) =3/1 = 3
f(x) minimum dala x = 3
b)
f(x) = - x² - 6x - 9
a = - 1 , b = - 6 , c = - 9
Δ = b² - 4ac =(- 6)² - 4 *(- 1) *( - 9) = 36 - 36 = 0
1.
Df: x ∈ R
2.
q - współrzędna y wierzchołka = - Δ/4a = 0/(- 2) = 0
ZWf: y ∈ < 0 , + ∞ )
3.
x₁ = x₂ = - b/2a = 6/(- 2) = - 6/2 = - 3
4.
f(x) > 0 dla x ∈ R \ { - 3 }
5.
f(x)↑(rosnąca) ⇔ x ∈ (- ∞ , - 3 >
f(x)↓(malejąca) ⇔ x ∈ < - 3 , + ∞ )
6.
a < 0 , więc ramiona paraboli skierowane do dołu i funkcja ma wartość największa w wierzchołku
p - współrzędna x wierzchołka = - b/2a = 6/(- 2) = - 6/2 = - 3
f(x) max dla x = - 3