Zacznijmy od uproszczenia postaci ciągu. Zauważmy, że w liczniku jest suma ciągu arytmetycznego o [tex]a_1=1[/tex], [tex]a_n=n[/tex] i [tex]r=1[/tex]. Zatem
[tex]1+2+...+n=\frac{1+n}{2}*n=\frac{n(n+1)}{2}[/tex]
Teraz ciąg ma postać:
[tex]a_n=(\frac{1+2+...+n}{n^2})^n=(\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2})^n=(\frac{n(n+1)}{2n^2})^n=(\frac{n+1}{2n})^n
[/tex]
Liczymy granice:
a)
[tex]g= \lim_{n \to \infty} a_n= \lim_{n \to \infty}(\frac{n+1}{2n})^n=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2^n}(\frac{n+1}{n})^n=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2^n}(1+\frac{1}{n})^n=[0*e]=0[/tex]
b)
[tex]p= \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n \to \infty}\frac{(\frac{n+1+1}{2(n+1)})^{n+1}}{(\frac{n+1}{2n})^n}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{2^{n+1}}(\frac{n+1+1}{n+1})^{n+1}}{\frac{1}{2^n}(\frac{n+1}{n})^n}=\lim_{n \to \infty}\frac{(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}}{2(1+\frac{1}{n})^n}=[\frac{e}{2e}]=\frac{1}{2}[/tex]c)
[tex]q= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{(\frac{n+1}{2n})^n}=\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n}=\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2}+\frac{1}{2n})=[\frac{1}{2}+0]=\frac{1}{2}[/tex]
