Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{D(-3,\ 5)}\\\boxed{S(-1,\ 1)}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]A(-5,\ -1),\ B(1,\ -3),\ C(3,\ 3)[/tex]
Obliczmy współrzędne wektorów o końcach AB, BC i AC.
[tex]A(x_A,\ y_A);\ B(x_B,\ y_B)\\\\\overrightarrow{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A][/tex]
[tex]\overrightarrow{AB}=[1-(-5),\ (-3-(-1)]=[6,\ -2]\\\\\overrightarrow{BC}=[3-1,\ 3-(-3)]=[2,\ 6]\\\\\overrightarrow{AC}=[3-(-5),\ 3-(-1)]=[8,\ 4][/tex]
Sprawdzimy prostopadłość wektorów stosując iloczyn skalarny wektorów:
[tex]\vec{v}=[a,\ b],\ \vec{q}=[c,\ d]\\\\\vec{v}\ \circ\ \vec{q}=a\cdot c+b\cdot d\\\\\vec{v}\ \perp\ \vec{q}\iff\vec{v}\ \circ\ \vec{q}=0[/tex]
[tex]\overrightarrow{AB}\ \circ\overrightarrow{BC}=6\cdot2+(-2)\cdot6=12-12=0\Rightarrow\overrightarrow{AB}\ \perp\ \overrightarrow{BC}[/tex]
Znajdźmy wektor AD prostopadły do wektora AB.
[tex]\overrightarrow{AD}=[a,\ b]\\\\\overrightarrow{AB}\ \circ\ \overrightarrow{AD}=0\iff[6,\ -2]\ \circ\ [a,\ b]=0\\\\6a-2b=0\qquad|:2\\3a-b=0\qquad(1)[/tex]
Ma to być kwadrat, czyli długości boków (wektorów) muszą być równe sobie.
Długość wektora:
[tex]\vec{s}=[a,\ b]\\\\|\vec{s}|=\sqrt{a^2+b^2}[/tex]
Obliczamy długość wektora AB i porównujemy z długością wektora AD:
[tex]|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6^2+(-2)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}\\\\|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{a^2+b^2}\\\\\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{40}\Rightarrow a^2+b^2=40\qquad(2)[/tex]
Otrzymujemy układ równań:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}3a-b=0&|+b\\a^2+b^2=40\end{array}\right\\\left\{\begin{array}{ccc}b=3a&(*)\\a^2+b^2=40&(**)\end{array}\right[/tex]
Podstawiamy [tex](*)[/tex] do [tex](**)[/tex]:
[tex]a^2+(3a)^2=40\\a^2+9a^2=40\\10a^2=40\qquad|:10\\a^2=4\to a=\pm\sqrt4\\\\a=-2\ \vee\ a=2[/tex]
Obliczamy [tex]b[/tex] podstawiając wartości [tex]a[/tex] do [tex](*)[/tex]:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}a=-2\\b=3\cdot(-2)\end{array}\right\to\left\{\begin{array}{ccc}a=-2\\b=-6\end{array}\right\\\left\{\begin{array}{ccc}a=2\\b=3\cdot2\end{array}\right\to\left\{\begin{array}{ccc}a=2\\b=6\end{array}\right[/tex]
Otrzymaliśmy dwa wektory przeciwne.
[tex][-2,\ -6],\ [2,\ 6][/tex]
Przyjmijmy:
[tex]D(x_D,\ y_D)[/tex]
Wówczas:
[tex]\overrightarrow{AD}=[x_D-(-5),\ y_D-(-1)]=[x_D+5,\ y+1][/tex]
Teraz nasuwa się pytanie, które współrzędne należy wziąć. Można to sobie odczytać z rysunku poglądowego lub logicznie myśląc rzędna punktu D musi być dodatnia. Stąd bierzemy wektor z dodatnimi współrzędnymi.
[tex][x_D+5,\ y_D+1]=[2,\ 6]\Rightarrow x_D+5=2\ \wedge\ y_D+1=6\\\\x_D=-3\ \wedge\ y_D=5\\\\\huge\boxed{D=(-3,\ 5)}[/tex]
Punkt przecięcia się przekątnych tego kwadratu, to środek jednej z przekątnych.
Środek odcinka:
[tex]A(x_A,\ y_A),\ B(x_B,\ y_B)\\\\S_{AB}\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)[/tex]
Podstawiamy:
[tex]S_{AC}\left(\dfrac{-5+3}{2},\ \dfrac{-1+3}{2}\right)\to S_{AC}\left(\dfrac{-2}{2},\ \dfrac{2}{2}\right)\\\\\huge\boxed{S_{AB}(-1,\ 1)}[/tex]
Oczywiście to zadanie można rozwiązać nie opierając się na wektorach.
Można na prostych prostopadłych, długości odcinka, równaniu okręgu w układzie współrzędnych, itd.
