We wszystkich przykładach postacią wyjściową będzie postać kanoniczna, którą następnie przekształcimy do postaci ogólnej.
[tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex] - postać ogólna
[tex]f(x)=a(x-p)^2+q[/tex] - postać kanoniczna
a)
Do wykresu należą punkty: [tex]W=(3,2)[/tex] (jest to wierzchołek) i [tex]A=(1,9)[/tex].
[tex]f(x)=a(x-3)^2+2\\ 9=a(1-3)^2+2\\ 9=4a+2\\ 4a=7\\ a=\frac{7}{4}\\ f(x)=\frac{7}{4}(x-3)^2+2=\frac{7}{4}(x^2-6x+9)+2=\frac{7}{4}x^2-\frac{21}{2}x+\frac{63}{4}+2=\frac{7}{4}x^2-\frac{21}{2}x+\frac{71}{4}[/tex]
b)
p wierzchołka jest dokładnie pomiędzy 2 i 6, więc p=4
[tex]f(x)=a(x-4)^2+q[/tex]
Do wykresu należą punkty: [tex]A=(1,-6)[/tex] i [tex]B=(2,-2)[/tex].
[tex]\left \{ {{-6=a(1-4)^2+q} \atop {-2=a(2-4)^2+q}} \\ \left \{ {{-6=9a+q} \atop {-2=4a+q}}\\ \left \{ {{-4=5a} \atop {-2=4a+q}} \\\\ \left \{ {{a=-\frac{4}{5}} \atop {-2=4*(-\frac{4}{5})+q}}\\ \left \{ {{a=-\frac{4}{5}} \atop {-2=-\frac{16}{5}+q}}\\ \left \{ {{a=-\frac{4}{5}} \atop {q=\frac{6}{5}}}\\\\[/tex]
[tex]f(x)=-\frac{4}{5}(x-4)^2+\frac{6}{5}=-\frac{4}{5}(x^2-8x+16)+\frac{6}{5}=-\frac{4}{5}x^2+\frac{32}{5}x-\frac{64}{5}+\frac{6}{5}=-\frac{4}{5}x^2+\frac{32}{5}x-\frac{58}{5}[/tex]
c)
p wierzchołka jest dokładnie pomiędzy 4 i 6, więc p=5
[tex]f(x)=a(x-5)^2+q[/tex]
Do wykresu należą punkty: [tex]A=(2,3\sqrt{2})[/tex] i [tex]B=(4,\sqrt{2})[/tex].
[tex]\left \{ {{3\sqrt{2}=a(2-5)^2+q} \atop {\sqrt{2}=a(4-5)^2+q}} \\ \left \{ {{3\sqrt{2}=9a+q} \atop {\sqrt{2}=a+q}}\\ \left \{ {{2\sqrt{2}=8a} \atop {\sqrt{2}=a+q}} \\\\ \left \{ {{a=\frac{\sqrt{2}}{4}} \atop {\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}+q}}\\ \left \{ {{a=\frac{\sqrt{2}}{4}} \atop {q=\frac{3\sqrt{2}}{4}}}\\ [/tex]
[tex]f(x)=\frac{\sqrt{2}}{4}(x-5)^2+\frac{3\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{4}(x^2-10x+25)+\frac{3\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{4}x^2-\frac{5\sqrt{2}}{2}x+\frac{25\sqrt{2}}{4}+\frac{3\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{4}x^2-\frac{5\sqrt{2}}{2}x+7\sqrt{2}}[/tex]