Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{\sin\alpha=\dfrac{3\sqrt{10}}{10},\ \cos\alpha=\dfrac{\sqrt{10}}{10}}\\\boxed{\text{tg}\alpha=3,\ \text{ctg}\alpha=\dfrac{1}{3}}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]\sin\alpha=3\cos\alpha\qquad|:\cos\alpha\neq0\\\\\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=3[/tex]
Skorzystamy z tożsamości trygonometrycznej:
[tex]\text{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}[/tex]
stąd:
[tex]\text{tg}\alpha=3[/tex]
Skorzystamy z tożsamości trygonometrycznej:
[tex]\text{tg}x\cdot\text{ctg}x=1[/tex]
stąd:
[tex]3\text{ctg}\alpha=1\qquad|:3\\\\\text{ctg}\alpha=\dfrac{1}{3}[/tex]
Jako, że kąt [tex]\alpha[/tex] jest kątem ostrym, stąd wartości wszystkich funkcji są dodatnie.
[tex]\sin\alpha=3\cos\alpha\qquad|^2\\\\(\sin\alpha)^2=(3\cos\alpha)^2\\\\\sin^2\alpha=9\cos^2\alpha[/tex]
Skorzystamy z tożsamości trygonometrycznej:
[tex]\sin^2x+\cos^2x=1[/tex]
stąd:
[tex]9\cos^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\\\10\cos^2\alpha=1\qquad|:10\\\\\cos^2\alpha=\dfrac{1}{10}\to\cos\alpha=\sqrt{\dfrac{1}{10}}\\\\\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{10}}{10}[/tex]
[tex]\sin\alpha=3\cdot\dfrac{\sqrt{10}}{10}\\\\\sin\alpha=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}[/tex]
Zadanie można rozwiązać również na podstawie trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych wynikających z wartości funkcji tangens: 3 i 1.
Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa, skąd otrzymamy przeciwprostokątną długości √10.
Stosujemy definicje funkcji trygonometrycznych kata ostrego w trójkacie prostokątnym.
