Odpowiedź:
a) Prosta L jest malejąca w całym przedziale swojej dziedziny D:
x ∈ (– ∞, + ∞)
b) Współrzędne punktu przecięcia osi 0y: (x, y) = (0, 5)
c) x = 15/2 jest miejscem zerowym równania, a dokładniej punkt o
współrzędnych (x, y,) = (15/2, 0)
d) Wykres przechodzi przez pierwszą, drugą i czwartą ćwiartkę.
e) Współczynnik prostej równoległej m1 = m = – 2/3
f) Warunek na proste prostopadłe: 1 + m•m1 = 0 to m•m1 = – 1
to m1 = – 1/m to szukany współczynnik prostej prostopadłej:
m1 = –1/(–2/3) = 1/(2/3) = 3/2
g) (załącznik)
Szczegółowe wyjaśnienie:
y = (-2/3)x + 5, w układzie współrzędnych 0xy jest to równanie prostej (L) w postaci parametrycznej, o współczynniku kierunkowym prostej
m = – 2/3, gdzie m = tgα,
(m jest równe tangensowi kąta zawartego między dodatnim kierunkiem osi 0x a prostą L)
a)
Znak minus (–) przy współczynniku kierunkowym m oznacza, że
tgα < 0 to α ∈ (90º , 180º ), druga ćwiartka, a prosta L jest malejąca w całym przedziale swojej dziedziny D: x ∈ (– ∞, + ∞)
b)
Współrzędną y miejsca (punktu) przecięcia się wykresu prostej L z osią 0y znajdziemy dla współrzędnej punktu przecięcia x = 0,
więc do równania prostej y = (–2/3)x + 5, należy podstawić x = 0, to
y = 0 + 5 = 5, a więc mamy współrzędne punktu przecięcia (x, y) = (0, 5)
c)
Miejsca zerowe są to punkty przecięcia się się wykresu funkcji
y = f(x) z osią 0x, a więc są to punkty dla współrzędnej y = 0, to do równania prostej należy podstawić y = 0, to y = (–2/3)x + 5 = 0,
Działania w rozwiązywaniu takiego równania mają zmierzać do tego, by po lewej stronie równania pozostała tylko niewiadoma x, to [najpierw przeniesiemy wyraz wolny, 5, na druga stronę równania (pamiętając, że
ze znakiem przeciwnym)] to (–2/3)x = –5,
[możemy teraz obie strony równania (działania na równaniach wykonujemy zawsze na obydwóch stronach równania) najpierw pomnożyć przez /•3, potem podzielić przez /: (–2), ale możemy to zrobić jednym działaniem - pomnożyć przez /•(–3/2), wtedy współczynnik przy x nam się zredukuje] to
(–2/3)x = –5 /•(–3/2) to (–3/2)•(–2/3)x = (–5)•(–3/2) to
x = 15/2 jest miejscem zerowym równania, a dokładniej punkt o współrzędnych (x, y,) = (15/2, 0)
d)
Z punktu przecięcia się wykresu z osiami 0x i 0y widać, że wykres nie przechodzi (omija) przez trzecią ćwiartkę,
to wykres przechodzi przez pierwszą, drugą i czwartą ćwiartkę.
e)
Proste równoległe mają równe kąty α nachylenia do osi 0x, więc mają równe współczynniki kierunkowe prostej m = tgα.
Można tu dodać, że kąt φ zawarty między prostymi równoległymi jest równy φ = 0º, co również uzasadnia, że współczynniki kierunkowe prostych równoległych m są równe.
Odpowiedź: Współczynnik prostej równoległej m1 = m = – 2/3
f)
Dla wyznaczania kąta φ miedzy dwoma prostymi wygodnie jest korzystać z zależności, ze wzoru:
tgφ = ∓ (m1 - m2)/(1 + m1•m2), ∓ dlatego, że kąt między prostymi można odczytać ostry kąt lub rozwarty.
Do naszego zadania, gdzie mamy już przyjęty, oznaczony współczynnik kierunkowy m, oznaczymy szukany współczynnik prostej prostopadłej jako m1, więc wzór przyjmie postać:
Można zauważyć, że z tej zależności odczytamy wprost warunek dla prostych równoległych, bo wtedy dla
φ = 0º, to tgφ = tg0º = 0, więc licznik ułanka tego wzoru musi się równać 0, to m - m1 = 0 to m = m1, co już wykazano w podpunkcie e).
Dla prostych prostopadłych, tg90º nie istnieje, jest tylko tgφ dla kąta
φ → 90º, a więc gdy kąt φ dąży do 90º, wtedy tgφ → + ∞
Podobnie, analogicznie jest z ułamkiem z zależności:
tgφ = ∓ (m - m1)/(1 + m•m1), gdy mianownik ułamka dąży do 0 to
wartość ułamka dąży do → + ∞
Wnioskiem z zależności na tgφ jest warunek na proste prostopadłe:
1 + m•m1 = 0 to m•m1 = – 1 to m1 = – 1/m
to szukany współczynnik prostej prostopadłej:
m1 = –1/(–2/3) = 1/(2/3) = 3/2
