Odpowiedź:
x² + y² = 100
1. Punkty przecięcia prostej 3x - y + 10 = 0 z okręgiem; długość cięciwy "a":
{x² + y² = 100
{3x - y + 10 =0
---
{x² + y² = 100
{y = 3x + 10
---
{x² + (3x + 10)² = 100
{y = 3x + 10
---
{x² + 9x² + 60x + 100 = 100
{y = 3x + 10
---
{10x² + 60x = 0
{y = 3x + 10
---
{10x(x + 6) = 0
{y = 3x + 10
---
{x₁ = 0 v x₂ = -6
{y₁ = 10 v y₂ = -8
Punkty przecięcia prostej z okręgiem: P₁=(0, 10) i P₂=(-6, -8)
---> długość cięciwy a:
[tex]a=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}\\
\\
a=\sqrt{(0+6)^{2}+(10+8)^{2}}\\
\\
a=\sqrt{36+324}\\
\\
a=\sqrt{360}\\ \\ a=\sqrt{36*10}\\
\\
a=6\sqrt{10}
[/tex]
2. Punkty przecięcia prostej 2x - y - 10 = 0 z okręgiem; długość cięciwy "b":
{x² + y² = 100
{2x - y - 10 =0
---
{x² + y² = 100
{y = 2x - 10
---
{x² + (2x - 10)² = 100
{y = 2x - 10
---
{x² + 4x² - 40x + 100 = 100
{y = 2x - 10
---
{5x² - 40x = 0
{y = 2x - 10
---
{5x(x - 8) = 0
{y = 2x - 10
---
{x₁ = 0 v x₂ = 8
{y₁ = -10 v y₂ = 6
Punkty przecięcia prostej z okręgiem: P₃=(0, -10) i P₄=(8, 6)
---> długość cięciwy b:
[tex]b=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}\\
\\
b=\sqrt{(8-0)^{2}+(6+10)^{2}}\\
\\
b=\sqrt{64+256}\\
\\
b=\sqrt{320}\\
\\ b=\sqrt{64*5}\\ \\
b=8\sqrt{5}
[/tex]
3. Odpowiedź na pytanie:
[tex]\cfrac{a}{b}=\cfrac{6\sqrt{10}}{8\sqrt{5}}=\cfrac{3\sqrt{10}}{4\sqrt{5}}*\cfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\cfrac{3\sqrt{50}}{4*5}=\cfrac{3\sqrt{25*2}}{4*5}=\cfrac{3*5\sqrt{2}}{4*5}=\cfrac{3\sqrt{2}}{4}[/tex]
Odp. B
Szczegółowe wyjaśnienie:
