W ciągu arytmetycznym a8=10 i a10=9 oblicz a100 i s100

Jeżeli każdy następny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy d do wyrazu poprzedniego, to różnicę d otrzymamy odejmując od dowolnego wyrazu następnego wyraz poprzedni:

d = a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = a5 - a4 = a6 - a5 ..., = a(n + 1) - an to

d = a(n + 1) - an to a(n + 1) = an + d (wzór rekurencyjny).

gdzie a1, a2, ..., an, a(n+1) oznaczają a ze znaczkiem 1, 2, ..., n, (n +1).

Z danych zadania a8 = 10 i a10 = 9 obliczymy, a1 i d:

a8 +d = a9, a9 + d = a10 to a8 + d + d = a10 to a8 + 2d = a10 to

10 + 2d = 9 to 2d = 9 - 10 = -1 to d = - 1/2

a8 = a1 + 7d = a1 + 7(-1/2) = a1 - 7/2 = 10 to a1 = 10 + 7/2 = 12/2 = 6

to mamy d = - 1/2 a1 = 6 to zgodnie ze wzorem na wyraz

ogólny an = a1 + (n-1)d, szukane a100 = a1 + (100 - 1)d to

a100 = 6 + 99• (-7/2) = 6/2 - 693/2 = - 687/2 = - 343,5

Odpowiedź: a100 = - 687/2 = - 343,5

Weźmy teraz taki ciąg arytmetyczny liczb od 1 do 10:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. a1 = 1, an = a10 = 10, n = 10

Utworzymy takie sumy par kolejnych skrajnych wyrazów:

1 + 10 = 11, 2 + 9 = 11, 3+ 8 = 11, 4 + 7 = 11, 5 + 6 = 11.

Przy okazji obliczyliśmy sumę cyfr od 1 do 10, bo to jest przecież

5 par po 11 więc sima wynosi 55 (tak możemy sobie policzyć szybko sumę ciągu liczb od 1 do 100, do 1000, ..., do n.)

Ale wnioski z tego działania są ciekawsze:

Z tego działania możemy teraz utworzyć wzór na sumę ciągu Sn

od wyrazu a1 do wyrazu an.

Możemy zauważyć, że w tym ciągu cyfr od a1 = 1 do an = 10, mamy sumę każdej pary 11, a takich par jest 5 = 10/2, więc więc wystarczy wziąć sumę tylko pierwszej pary 1 + 10 = a1 + an = 11, wyrazów ciągu mamy 10 ale par mamy tylko 5 = 10/2,

więc naszą sumę możemy policzyć tak: S10 = (10/2)•(1 + 10) to

S10 = 10•(1 + 10)/2 i ogólnie Sn = n•(a1 + an)/2

Jest to wzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego.

Na koniec obliczymy szukaną sumę z treści zadania:

S100 = 100•{6 + (- 343,5)}/2 = 100•{6 - 343,5}/2 = 50•(6 - 343,5) =

50•(- 337,5) = - 16 875.