[tex]a^3 + 8b^3 \geq 2a^2b + 4ab^2\\
(a+2b)(a^2-2ab+4b^2) \geq 2ab(a+2b)[/tex]
Dzielę obustronnie przez [tex]a+2b[/tex] przy założeniu, że [tex]a+2b\not=0[/tex]. Ponadto, uwzględniając założenie z treści zadania, wynika, że [tex]a+2b>0[/tex], a więc nie muszę się martwić kwestią zmiany znaku przy dzieleniu.
[tex]a^2-2ab+4b^2\geq2ab\\
a^2-4ab+4b^2\geq0\\
(a-2b)^2\geq0[/tex]
Powyższe jest prawdą, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny.
Dla [tex]a+2b=0[/tex] otrzymujemy [tex]0\geq0[/tex], co również jest prawdą.
Zatem wyjściowa nierówność jest prawdziwa.
