Odpowiedź:
zad 1
f(x) min = - 1
Ponieważ funkcja ma wartość minimalną , więc ramiona paraboli skierowane do góry i a > 0
W - współrzędne wierzchołka = (2 , - 1 )
Postać kanoniczna
f(x) = a(x - 2)² - 1 ; współrzędne punktu = ( 0 , 3 )
3 = a(0 - 2)² - 1
3 = a(- 2)² - 1
3 = a * 4 - 1
4a = 3 + 1
4a = 4
a = 4/4 = 1
F(x) = (x - 2)² - 1 = x² - 4x + 4 - 1 = x² - 4x + 3 postać ogólna
zad 2
3x² + x - 2 ≤ 0
Obliczamy miejsca zerowe
3x² + x - 2 = 0
a = 3 , b = 1 , c = - 2
Δ = b² - 4ac = 1² - 4 * 3 * (- 2) = 1 + 24 = 25
√Δ = √25 = 5
x₁ = ( - b - √Δ)/2a = ( - 1 - 5)/6 = - 6/6 = - 1
x₂ = (- b + √Δ)/2a = (- 1 + 5)/6 =4/6 = 2/3
a > 0 , więc ramiona paraboli skierowane do góry , a wartości mniejsze od 0 znajdują się pod osią OX
x ∈ (- ∞ , - 1 > ∪ < 2/3 , + ∞ )
zad 3
f(x) = - x² + 3x - 2 ; przedział = < 0 , 2 >
a = - 1 , b = 3 , c = - 2
Sprawdzamy , czy wierzchołek paraboli należy do przedziału
p - współrzędna x wierzchołka = - b/2a = - 3/(- 2) = - 3/2 = - 1,5
Ponieważ wierzchołek należy do przedziału , więc wartość największą funkcja osiąga w wierzchołku , ponieważ a < 0 i ramiona paraboli skierowane do dołu
f(1,5) = q = - Δ/4a = - (b² - 4ac)/(- 4) = - [(3² - 4 * (- 1) * (- 2)]/(- 4) =
= - (9 - 8)/(- 4) = - 1/(- 4) = 1/4 wartość największa
f(0) = - 0² + 3 * 0 - 2 = 0 + 0 - 2 = - 2 wartość najmniejsza
f(2) = - 2² + 3 * 2 - 2 = - 4 + 6 - 2 = - 6 + 6 = 0
zad 4
(3x - 1)³ - (2x + 1)³ = 9x³ + 3 * (3x)² * (- 1) + 3 * 3x * (- 1)² + (- 1)³ -
= [4x³ + 3 * (2x)² * 1 + 3 * 2x * 1 + 1³ ] = 9x³ - 27x² + 9x - 1 -
= - 4x³ - 12x² - 6x - 1 = 5x³ - 31x² + 3x - 2
zad 5
w(x) = x³ - 2x² - 2x - 3 podzielić przez x - 4
Schemat Hornera
1 - 2 - 2 - 3
4 4 8 24
1 2 6 21
x³ - 2x² - 2x - 3 : (x - 4) = (x - 4)(x² + 2x + 6) + reszta 21
zad 6
w(x) = 6x³ - 19x² + x + 6
Schemat Hornera
6 - 19 1 6
3 18 - 3 - 6
6 - 1 - 2 0
6x³ - 19x² + x + 6 : (x - 3) = (x - 3)(6x² - x - 2)
(x - 3)(6x² - x - 2) = 0
x - 3 = 0 ∨ 6x² - x - 2 = 0
x = 3
6x² - x - 2 = 0
a = 6 , b = - 1 , c = - 2
Δ = b² - 4ac = (- 1)² - 4 * 6 * (- 2) = 1 + 48 = 49
√Δ = √49 = 7
x₁ = (- b - √Δ)/2a = ( 1 - 7)/12 = - 6/12 = - 1/2
x₂ = (- b - √Δ)/2a = (1 + 7)/12 = 8/12 = 2/3
x₀ = { - 1/2 , 2/3 , 3 }