Odpowiedź:
Funkcja osiąga maksimum lokalne dla [tex]P=(4,4)[/tex] równe [tex]12[/tex].
Szczegółowe wyjaśnienie:
Funkcja:
[tex]f(x,y)=y\sqrt{x}-y^{2}+6y-x[/tex]
Pochodne cząstkowe:
[tex]$\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{y}{2\sqrt{x} } -1[/tex]
[tex]$\frac{\partial f}{\partial y} =\sqrt{x} -2y+6[/tex]
Układ równań:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}\frac{y}{2\sqrt{x}}-1 =0\\ \sqrt{x}-2y+6=0 \end{array}\right[/tex]
Z drugiego równania mamy [tex]\sqrt{x}=2y-6[/tex]. Po wstawieniu do pierwszego:
[tex]$\frac{y}{2(2y-6)} =1 \iff y=4y-12 \iff y=4[/tex]
Wtedy:
[tex]\sqrt{x}=2 \iff x=4[/tex]
Zatem tak naprawdę mamy jeden punkt stacjonarny:
[tex]P=(4,4)[/tex]
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu:
[tex]$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} =-\frac{y}{\sqrt{x^{3}} } [/tex]
[tex]$\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} =\frac{1}{2\sqrt{x}} [/tex]
[tex]$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y^{2}} =-2[/tex]
Hesjan:
[tex]$H(x,y)=\left|\begin{array}{ccc}-\frac{y}{\sqrt{x^{3}} } &\frac{1}{2\sqrt{x} } \\\frac{1}{2\sqrt{x} } &-2\end{array}\right|=\frac{2y}{\sqrt{x^{3}} } -\frac{1}{4x} [/tex]
Obliczamy wyznacznik dla punktu stacjonarnego:
[tex]$H(P_{1})=H(4,4)=\frac{2 \cdot 4}{\sqrt{4^{3}} } -\frac{1}{4 \cdot 4} =\frac{8}{8} -\frac{1}{16} =\frac{15}{16} [/tex]
Zatem w tym punkcie funkcja osiąga ekstremum. Poza tym mamy:
[tex]$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}<0[/tex]
Zatem ostatecznie:
Funkcja osiąga maksimum lokalne dla [tex]P=(4,4)[/tex] równe [tex]12[/tex].