Cześć!
Skoro ma mieć zero na końcu, to oznacza podzielność przez 10.
[tex]5n^2+5n = 5(n^2+n)=5(n(n+1))[/tex]
Widzimy, że liczba jest podzielna na pewno przez 5. Skoro tak, będzie to liczba, która będzie miała na końcu 0 lub 5. Pierwszy warunek nam sprzyja, drugi niekoniecznie. Jeżeli liczbę, która ma na końcu cyfrę 5 pomnożymy przez 2, to otrzymamy liczbę pełną, z zerem na końcu, zatem podzielność przez 10 zajdzie, gdy wystąpi podzielność przez 5 i przez 2 równocześnie (bo każda liczba podzielna przez 10 jest równocześnie podzielna przez 2). Zauważamy, że [tex]n(n+1)[/tex] to iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych, więc jedna z nich musi być parzysta (gdyż po liczbie parzystej następuje liczba nieparzysta i w drugą stronę). Iloczyn liczby parzystej i nieparzystej jest liczbą parzystą, czyli podzielną przez dwa, zatem [tex]2 \ | \ n(n+1)[/tex].
Wynika stąd, że liczba jest podzielna przez 5 i przez 2, zatem jest podzielna przez 10, więc ma na końcu zero, co kończy dowód.
Pozdrawiam!
