Odpowiedź:
1.
a) Promień okręgu r = 8/2 = 4 cm.
b) Promień okręgu r = 5 cm
c) Promień okręgu r = 3(√2 - 1) cm
2.
a) Obwód trójkąta = a + a + d = 5 + 5 + 10 = 20
b) Obwód trójką jest równy x + 3x + d = 4x + d = 4√10 + 10 = 2(2√10 + 5)
3.
Pole trójkąta = 4•6 + 4•6/2 + 4•6/2 = 24 + 12 + 12 = 48 (jednostek długości)²
Szczegółowe wyjaśnienie:
Do tych zadań jest jedno twierdzenie, które warto wypowiedzieć na rożne sposoby, żeby widzieć, "o co tutaj chodzi"
Kąt wpisany w półokrąg oparty na średnicy jest kątem prostym;
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego wpisanego w okrąg jest średnicą tego okręgu;
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie.
Nie można inaczej wpisać trójkąta prostokątnego okrąg niż tylko tak, że średnica okręgu jest jednocześnie przeciwprostokątną tego trójkąta.
Czy trójkąt prostokątny wpisany w okrąg, czy okrąg opisany na tym trójkącie - to oznacza to samo, nie ma różnicy między tymi sformułowaniami.
1. a)
Pole trójkąta możemy obliczyć z połowy iloczynu długości boku podstawy i wysokości trójkąta (są jeszcze inne wzory na pole trójkąta):
P = a•h/2 = [gdzie podstawa trójkąta a jest przeciwprostokątną i jednocześnie jest średnicą okręgu, a = d (średnica okręgu) = 2r (r - szukany promień okręgu) oraz h = 2 cm] to
P = a•2/2 = 8 cm² to a = 2r = 8
to Odpowiedź: Promień okręgu r = 8/2 = 4 cm.
b)
Najkrócej: Oznaczymy mniejszy kąt α to drugi kąt 2α, sumując kąty w trójkącie mamy: α + 2α + 90º = 180º to 3α = 180º - 90º = 90º to
α = 30º to sin30 = 1/2 = 5/2r /•2r to
Odpowiedź: Promień okręgu r = 5 cm
c)
Trójkąt równoramienny, o dwóch bokach równych a, więc jego obwód jest równy: Obwód = a + a + 2r = 6 2a + 2r = 6 to a + r = 3
to r = 3 - a, z tw. Pitagorasa mamy: a² + a² = (2r)²
to 2a² = 4r² /:2 to a² = 2r² to √a² = √2r² to
to ( a = r√2 i a + r = 3 to a = 3 - r ) to to r√2 = 3 - r to
r + r√2 = 3 to r(1 + √2) = 3 to r = 3/(1 + √2) to
r = 3•(1 - √2)/ (1 + √2)•(1 -√2) = 3•(1 - √2)/(1 - 2) = 3•(1 - √2)/(-1)
[w celu usunięcia niewymierności z mianownika, (1 + √2), zastosowano wzór skróconego mnożenia: a²– b² = (a – b)∙(a + b)]
r = -3(1 - √2) to Odpowiedź: Promień okręgu r = 3(√2 - 1) cm
2.
a) Tutaj podano promień r = 5 to przeciwprostokątną jest średnica
d = 2r = 10, trójkąt jest równoramienny, to z tw. Pitagorasa mamy a² + a² = d² to (2a)² = d² to 4a² = d² to √4a² = √d²
to 2a = d to a = d/2 to a = 10/2 = 5 to a = 5, d = 10 to:
Odpowiedź: Obwód trójkąta = a + a + d = 5 + 5 + 10 = 20
b)
Oznaczymy sobie jedną przyprostokątną x, więc drugą 3x, to
z tw. Pitagorasa mamy: x² + (3x)² = d ² to x² + 9x² = d ² to
10x² = d² = 10² = 100 to x² = 100/10 = 10 to √x² = √10 to x = √10
to jak w przykładzie a) d = 2r = 10, to
Odpowiedź:
Obwód trójką jest równy x + 3x + d = 4x + d = 4√10 + 10 = 2(2√10 + 5)
3)
Odcinki 4 i 6 wyznaczające odległość przyprostokątnych od środka okręgu dzielą trójkąt prostokątny na prostokąt o bokach 4 i 6 oraz
na dwa trójkąty prostokątne przystające, każdy o bokach 4, 6 i r.
A więc pole trójkąta jest sumą pola tego prostokąta i dwóch trójkątów przystających, to
Pole trójkąta = 4•6 + 4•6/2 + 4•6/2 = 24 + 12 + 12 = 48 (jednostek długości)²
