Odpowiedź:
[tex]\int\frac{1}{x^2+1}\mathrm{d}x = \mathrm{arctg}{x} + C[/tex]
[tex]\int x^n \mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C[/tex] (dla [tex]n \neq -1[/tex])
[tex]\int \frac{1}{x} = \ln{\lvert x \rvert} + C[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Przypomnijmy definicję całki nieoznaczonej:
Całką nieoznaczoną z danej funkcji podcałkowej jednej zmiennej nazywamy zbiór wszystkich funkcji (nazywanych funkcjami pierwotnymi), których pochodna jest równa funkcji podcałkowej.
Symbolicznie:
[tex]\int f(x)\mathrm{d}x = F(x) + C \iff F'(x) = f(x)[/tex]
Wszystkie funkcje należące do całki nieoznaczonej danej funkcji różnią się co najwyżej o stałą, nazywaną stałą całkowania i zapisywaną zwykle przez [tex]C[/tex]. Podchodząc do całek, powinniśmy już znać pochodne funkcji elementarnych, a także funkcji przemnożonej przez stałą (zdawać sobie sprawę z tego, że różniczkowanie jest operacją liniową) np.:
[tex]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\mathrm{arctg}{x}) = \frac{1}{x^2+1}[/tex]
[tex]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x^{n+1}}{n+1}}) = x^n[/tex] dla [tex]n \neq -1[/tex]
[tex]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\ln{x}) = \frac{1}{x}[/tex]
Korzystając z przywołanej już definicji pochodnej, otrzymujemy poszukiwane wzory:
[tex]\int\frac{1}{x^2+1}\mathrm{d}x = \mathrm{arctg}{x} + C[/tex]
[tex]\int x^n \mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C[/tex] (dla [tex]n \neq -1[/tex])
[tex]\int \frac{1}{x} = \ln{\lvert x \rvert} + C[/tex]
Przedstawiona tutaj metoda rozwiązywania całek sprawdza się głównie dla bardzo prostych całek. Stosujemy ja oczywiście wtedy, kiedy znamy (lub potrafimy dość łatwo zgadnąć) funkcję, której pochodną jest funkcja podcałkowa.
