Odpowiedź:
Wykorzystamy zespoloną postać funkcji cosinus:
[tex]cos(x) = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}[/tex]
Po zastosowaniu postaci zespolonej wzór sprowadza się do:
[tex]\sum_{k=0}^n\binom{n}{k} \frac{e^{i(2k+1)\varphi} + e^{-i(2k+1)\varphi}}{2} = 2^n (\frac{e^{i\varphi} + e^{-i\varphi}}{2})^n\frac{e^{i(n+1)\varphi} + e^{-i(n+1)\varphi}}{2}[/tex]
[tex]\sum_{k=0}^n\binom{n}{k} (e^{i(2k+1)\varphi} + e^{-i(2k+1)\varphi}) = (e^{i\varphi} + e^{-i\varphi})^n(e^{i(n+1)\varphi} + e^{-i(n+1)\varphi})[/tex]
Przyjmijmy [tex]t = e^{i\varphi}[/tex] i podstawmy do wzoru:
[tex]\sum_{k=0}^n\binom{n}{k} (t^{2k+1} + t^{-2k - 1}) = (t + t^{-1})^n(t^{n+1} + t^{-n-1})[/tex]
Przepiszmy prawą stronę z użyciem wzoru dwumianowego Newtona:
[tex](t^{n+1} + t^{-n-1})\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}t^kt^{k - n}\\= (t^{n+1} + t^{-n-1})\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}t^{2k - n}\\= \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(t^{2k - n + n + 1} + t^{2k - n -n - 1})\\= \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(t^{2k + 1} + t^{-2(n - k) - 1})\\[/tex]
Zatem wyjściowy wzór jest równoważny:
[tex]\sum_{k=0}^n\binom{n}{k} (t^{2k+1} + t^{-2k - 1}) = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k} (t^{2k+1} + t^{-2(n-k) - 1})[/tex]
Możemy rozbić obie sumy:
[tex]\sum_{k=0}^n\binom{n}{k} t^{2k+1} + \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}t^{-2k - 1} = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k} t^{2k+1} + \sum_{k=0}^n\binom{n}{k} t^{-2(n-k) - 1}[/tex]
[tex]\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}t^{-2k - 1} = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k} t^{-2(n-k) - 1}[/tex]
Ostatni wzór sprowadza się do klasycznej zamiany indeksów [tex]k \longrightarrow n - k[/tex].
To kończy dowód.
