10.
[tex]a_1 = 4x\\a_2 =-4\\a_3 = x\\n = 4\\a_4 = ?[/tex]
Z własności ciągu geometrycznego:
[tex](a_2)^{2} = a_1\cdot a_3\\\\(-4)^{2} = 4x\cdot x\\\\16 = 4x^{2} \ \ /:4\\\\x^{2}=4\\\\x^{2}-4 = 0\\\\(x-2)(x+2) = 0\\\\x = 2 \ \vee \ x = -2[/tex]
Ciąg jest rosnący, więc;
[tex]a_2 - a_1 > 0\\\\-4 - 4x > 0\\\\-4x > 4 \ \ /:(-4)\\\\x<-1\\\\\underline{x = -2}\\\\a_1 = 4x = 4\cdot(-2) = -8\\\\a_2 = -4\\\\q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2}\\\\\\a_{n} = a_1\cdot q^{n-1}\\\\a_4 = -8\cdot(\frac{1}{2})^{3}\\\\a_4 = -8\cdot\frac{1}{8}\\\\\boxed{a_4 = -1}[/tex]
[tex]\underline{Odp. \ B.}[/tex]
11.
Ciąg [tex](a_{n})[/tex] jest ciągiem geometrycznym, jeżeli dla dowolnego n ∈ N⁺ iloraz [tex]q = \frac{a_{n+1}}{a_{n}}[/tex] jest liczbą stałą, niezależną od wartości liczby n.
[tex]a_{n} = n\cdot 2^{n}\\\\a_{n+1} = (n+1)\cdot2^{n+1} = (n+1)\cdot2^{n}\cdot2 = 2(n+1)\cdot2^{n}}\\\\q = \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{2(n+1)\cdot2^{n}}{n\cdot2^{n}} = \frac{2(n+1)}{n}[/tex]
q nie jest stałe (zależne od n), zatem ciąg nie jest ciągiem geometrycznym.
Można też sprawdzić (co nie stanowi dowodu):
[tex]a_1 = 1\cdot2^{1} = 1\cdot2 = 2\\\\a_2 = 2\cdot2^{2} = 2\cdot4 = 8\\\\a_3 = 3\cdot2^{3} = 3\cdot8 = 24\\\\\frac{a_2}{a_1}\neq \frac{a_3}{a_2}\neq \frac{a_3}{a_2}[/tex]
