Odpowiedź:
[tex]a_{n}=10n-38[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Ustalmy rosnący ciąg arytmetyczny [tex](a_{n})[/tex]. Suma siedmiu początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem:
[tex]$S_{7}=\frac{2a_{1}+(7-1)r}{2} \cdot 7=\frac{7}{2} (2a_{1}+6r)=7a_{1}+21r[/tex]
Ponadto zachodzi równość:
[tex]7a_{1}+21r=14[/tex]
[tex]a_{1}+3r=2 \iff a_{1}=2-3r[/tex]
Wiemy też, że ciąg [tex](a_{4},a_{5},a_{11})[/tex] jest geometryczny. Inaczej możemy zapisać ten ciąg jako [tex](a_{1}+3r, a_{1}+4r, a_{1}+10r)[/tex]. Korzystając z własności ciągu geometrycznego mamy:
[tex](a_{1}+4r)^{2}=(a_{1}+3r)(a_{1}+10r)[/tex]
Teraz podstawiamy dobrze znaną nam wartość [tex]a_{1}=2-3r[/tex] i otrzymujemy:
[tex](2-3r+4r)^{2}=(2-3r+3r)(2-3r+10r)[/tex]
[tex](r+2)^{2}=2(7r+2)[/tex]
[tex]r^{2}+4r+4=14r+4[/tex]
[tex]r^{2}-10r=0[/tex]
[tex]r(r-10)=0[/tex]
[tex]r =0 \vee r=10[/tex]
Pierwsze rozwiązanie odrzucamy, bo ciąg arytmetyczny jest rosnący (czyli [tex]r>0[/tex] ). Obliczamy [tex]a_{1}[/tex] :
[tex]a_{1}=2-3r=2-3 \cdot 10=-28[/tex]
Zapisujemy wzór na [tex]n-[/tex]ty wyraz ciągu:
[tex]a_{n}=a_{1}+(n-1)r=-28+(n-1)10=10n-38[/tex]
