Odpowiedź :
Odpowiedź:
1)
proste te przetną się idealnie w środku prostokąta:
[tex]\left \{ {{y-3=0} \atop {3x-4y+9=0}} \right. \\\left \{ {{y=3} \atop {3x-4*(3)+9=0}} \right. \\\left \{ {{y=3} \atop {3x=12-9}} \right. \\\left \{ {{y=3} \atop {x=1}} \right.[/tex]
środek jest w punkcie P(1,3)
odległość od środka do każdego z wierzchołków jest równa połowie przekątnej czyli 5, więc jeśli 'osadzimy' okrąg o promieniu 5 w punkcie P to przetnie się on z tymi prostymi dokładnie w wierzchołkach
równanie okręgu o środku w punkcie P(1,3):
[tex](x-1)^2+(y-3)^2=5^2[/tex]
prosta k:
[tex]y-3=0\\y=3[/tex]
podstawiam do równania okręgu:
[tex](x-1)^2+(3-3)^2=5^2\\x^2-2x+1=25\\x^2-2x-24=0\\\Delta=2^2-4*1*(-24)=100\\\sqrt{\Delta}=10\\ x_1=\frac{-(-2)-10}{2*1} =-4\\x_2=6\\y_1=y_2=3[/tex]
prosta l:
[tex]3x-4y+9=0\\x=\frac{4y-9}{3}[/tex]
podstawiam do równania okręgu:
[tex](\frac{4y-9}{3} -1)^2+(y-3)^2=5^2\\(\frac{4y-9}{3})^2-2*\frac{4y-9}{3}+1+y^2-6y+9=25\\\frac{16y^2-72y+81}{9} -\frac{8y-18}{3} +1+y^2-6y+9-25=0\quad |*9\\16y^2-72y+81-24y+54+9+9y^2-54y-144=0\\25y^2-150y=0\quad |:25\\y^2-6y=0\\y(y-6)=0\\y_1=0\\y_2=6\\x_1=\frac{4y_1-9}{3} =-3\\x_2=5[/tex]
więc ostatecznie współrzędne wierzchołków to:
A(-4,3), B(6,3), C(-3,0), D(5,6)
zad.1 można też rozwiązać wyprowadzając równania wynikające z odległości punktów
2)
patrząc na poprzednie zadanie zgaduję, że intencjonalny (trudniejszy) sposób polega na: wyznaczyć długość jednego boku np. |AB| z równania na odległości punktów, prostą przechodzącą przez te punkty np. prosta k przechodząca przez A i B, następnie należy policzyć odległość punktu od prostej [jest na to wzór], będziemy mieć wtedy wszystkie potrzebne dane, wystarczyć podstawić do wzoru P=(ab)/2
jak chcesz to rozwiąż to w opisany powyżej sposób, masz podane krok po kroku co robić
rozwiązanie alternatywne:
jest bezpośrednio wzór na pole trójkąta, jeśli mamy podane współrzędne wierzchołków:
[tex]P_\Delta=\frac{1}{2}((x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A))[/tex]
podstawiając do wzoru:
[tex]P_\Delta=\frac{1}{2}((4-(-4))(1-0)-(-6-0)(3-(-4))) \\P_\Delta=\frac{1}{2}(8*1-(-6)*7)=\frac{1}{2} (50)=25[/tex]
Pole jest równe 25 j^2
