Odpowiedź :
Ciąg [tex]b_n[/tex] jest ciągiem arytmetycznym, Wyraźmy więc ciąg [tex]a_n[/tex] za jego pomocą.
[tex]a_1=b_1\\a_2=b_5=b_1+4r\\a_3=b_{21}=b_1+20r[/tex]
Znamy sumę ciągu [tex]a_n[/tex], więc
[tex]a_1+a_2+a_3=84\\b_1+b_1+4r+b_1+20r=84\\3b_1+24r=84\ |:3\\b_1+8r=28\\b_1=28-8r\\a_1=28-8r\\a_2=28-8r+4r=28-4r\\a_3=28-8r+20r=28+12r[/tex]
Skorzystajmy z tw. o sąsiadach dla ciągu [tex]a_n[/tex].
[tex]a^2_2=a_1*a_3\\(28-4r)^2=(28-8r)(28+12r)\\784-224r+16r^2=784+336r-224r-96r^2\\784-224r+16r^2-784-336r+224r+96r^2=0\\112r^2-336r=0\ |:112\\r^2-3r=0\\r(r-3)=0\\r=0\vee r=3[/tex]
Odrzucamy r = 0, bo wtedy ciąg [tex]a_n[/tex] byłby stały, a z założenia ma być rosnący. Ostatecznie
[tex]r=3\\a_1=28-8*3=4\\a_2=28-4*3=16\\a_3=28+12*3=64\\(a_1,a_2,a_3)=(4,16,64)[/tex]
Wyraz ogólny ciągu [tex]b_n[/tex] wygląda tak
[tex]b_n=b_1+(n-1)*r=4+(n-1)*3=4+3n-3=3n+1\\[/tex]
