Rozwiązanie:
Zadanie [tex]4.[/tex]
Rysunek w załączniku.
Pole składa się z dwóch części:
[tex]$|P_{1}|=\int\limits^{-\frac{1}{3}}_{-1} {3x^{2}-2x-1} \, dx =x^{3}-x^{2}-x\Big|^{-\frac{1}{3}}_{-1}=[/tex]
[tex]$=\Big(-\frac{1}{3}\Big)^{3}- \Big(-\frac{1}{3}\Big)^{2}-\Big(-\frac{1}{3}\Big)-\Big((-1)^{3}-(-1)^{2}-(-1)\Big)=[/tex]
[tex]$=-\frac{1}{27}-\frac{1}{9}+\frac{1}{3}-\Big(-1-1+1\Big)=\frac{5}{27} +1=\frac{32}{27}[/tex]
[tex]$|P_{2}|=\int\limits^{1}_{-\frac{1}{3}} {3x^{2}-2x-1} \, dx =x^{3}-x^{2}-x\Big|^{1}_{-\frac{1}{3}}=[/tex]
[tex]$=1^{3}-1^{2}-1-\Bigg(\Big(-\frac{1}{3}\Big)^{3}- \Big(-\frac{1}{3}\Big)^{2}-\Big(-\frac{1}{3}\Big)\Bigg)=-1-\frac{5}{27} =-\frac{32}{27}[/tex]
Pole nie może być ujemne, znak minus informuje nas tylko o tym, że pole pod krzywą jest poniżej osi odciętych. Pole rozważanego obszaru wynosi:
[tex]$|P|=|P_{1}|+|P_{2}|=\frac{32}{27} +\Bigg|-\frac{32}{27} \Bigg|=\frac{64}{27}[/tex]
Zadanie [tex]5[/tex].
Rysunek w załączniku.
Pole:
[tex]$|P|=\int\limits^e_1 {\ln x} \, dx =\left|\begin{array}{ccc}f=\ln x&dg= dx\\df=\frac{1}{x}\ dx&g=x\end{array}\right|=x \ln x\Big|^{e}_{1}-\int\limits^e_1 \, dx =x \ln x-x\Big|^{e}_{1}=[/tex]
[tex]$=e\ln e-e-\Big(\ln 1-1\Big)=e-e-(-1)=1[/tex]
