Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{y_{min}=-10\ \text{dla}\ x=3}\\\boxed{y_{max}=15\ \text{dla}\ x=-2}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zaczynamy od sprawdzenia, czy wierzchołek paraboli, która jest wykresem tej funkcji, należy do zadanego przedziału.
[tex]f(x)=ax^2+bx+c\\\\W(p,\ q)\\\\p=\dfrac{-b}{2a},\ q=f(p)=\dfrac{-(b^2-4ac)}{4a}[/tex]
[tex]f(x)=x^2-6x-1\\\\a=1,\ b=-6,\ c=-1\\\\p=\dfrac{-(-6)}{2\cdot1}=\dfrac{6}{2}=3\in\left<-2,\ 5\right>\\\\q=f(3)=3^2-6\cdot3-1=9-18-1=-10[/tex]
Jako, że współczynnik [tex]a=1>0[/tex], to ramiona paraboli są skierowane w górę i funkcja przyjmuje minimum w wierzchołku.
Stąd mamy:
[tex]y_{min}=-10[/tex] dla [tex]x=3[/tex]
Szukamy teraz maksimum. Jako, że argument [tex]x=-2[/tex] z krańca naszego przedziału jest bardziej oddalony od wierzchołka niż argument z drugiego krańca przedziału, to funkcja tam przyjmuje wartość największą.
Obliczamy wartość funkcji dla [tex]x=-2[/tex]:
[tex]f(-2)=(-2)^2-6\cdot(-2)-1=4+12-1=15[/tex]
