Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]$\pi_1: x-2y+z+9=0$[/tex]
Współczynniki:
[tex]A_1=1\\B_1=-2\\C_1=1\\D_1=9[/tex]
Warunek prostopadłości dwóch płaszczyzn:
[tex]$A_1\cdot A_2+B_1\cdot B_2+C_1\cdot C_2=0$[/tex]
Zapiszmy równanie szukanej płaszczyzny [tex]$\pi_2$[/tex]
[tex]$\pi_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$[/tex]
Tworzymy układ równań:
[tex]$\begin{cases}A_2-2B_2+C_2=0\\2A_2+0-C_2+D_2=0\\A_2-2B_2+4C_2+D_2=0\\\end{cases}$[/tex]
Odejmijmy stronami trzecie równanie od pierwszego, wtedy otrzymamy:
[tex]$-3C_2-D_2=0\Longrightarrow D_2=-3C_2$[/tex]
Po podstawieniu za [tex]D_2[/tex] zauważymy, że rząd macierzy podstawowej układu oraz rząd macierzy rozszerzonej układu są jednakowe i wynoszą dokładnie dwa. Mamy trzy niewiadome, zatem na mocy twierdzenia Kroneckera-Capellego istnieje nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru.
Nieskończona liczba rozwiązań wynika z możliwości przemnażania równania płaszczyzny przez dowolną stałą różną od zera.
Przyjmijmy zatem za [tex]D_2=6[/tex]
wtedy:
[tex]$C_2=\frac{6}{-3}=-2 $[/tex]
Po wstawieniu do drugiego równania:
[tex]$A_2=\frac{-2-6}{2}=-4$[/tex]
Po wstawieniu do pierwszego równania:
[tex]$B_2=\frac{-4-2}{2}=-3$[/tex]
Zatem równanie szukanej płaszczyzny to:
[tex]$\pi_2:-4x-3y-2z+6=0$[/tex]
Odległość punktu [tex]P[/tex] od szukanej płaszczyzny to:
[tex]$d(P_0 ; \ \pi_2)=\frac{|-4\cdot(-1)-3\cdot2-2\cdot0+6|}{\sqrt{(-4)^2+(-3)^2+(-2)^2} }=\frac{4\sqrt{29} }{29}\approx0,7428$[/tex]