Odpowiedź:
[tex]$f_{min}(-3; \ 0)=-57$[/tex]
[tex]$f_{max}(3; \ -4) =115$[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]$f(x,y)=2y^3-x^3+12y^2+27x-3$[/tex]
1. Pochodne cząstkowe I rzędu:
[tex]$f'_x=\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)= 27-3x^2$[/tex]
[tex]$f'_y=\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)=6y^2+24y$[/tex]
2. Punkty stacjonarne:
[tex]$\left \{ {{27-3x^2=0} \atop {6y(y+4)=0}} \right.$[/tex]
[tex]$\left \{ {{x=3 } \atop {y=0}} \right.$[/tex]
[tex]$\left \{ {{x=-3 } \atop {y=0}} \right.$[/tex]
[tex]$\left \{ {{x=3} } \atop {y=-4}} \right.$[/tex]
[tex]$\left \{ {{x=-3 } \atop {y=-4}} \right.$[/tex]
Przyjmijmy, że
[tex]$P_1=\big(3; \ 0\big) \ \ \ P_2=\big(-3; \ 0\big) \ \ \ P_3=\big(3; \ -4\big) \ \ \ P_4=\big(-3; \ -4\big)$[/tex]
3. Pochodne cząstkowe II rzędu:
[tex]$f''_{xx}=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=-6x$[/tex]
[tex]$f''_{xy}=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=0$[/tex]
[tex]$f''_{yx}=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=0$[/tex]
[tex]$f''_{yy}=\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=12(y+2)$[/tex]
4. Hesjan:
[tex]$H(x,y)=\left|\begin{array}{cc}f''_{xx}&f''_{xy}\\f''_{yx}&f''_{yy}\end{array}\right| =\left|\begin{array}{cc}-6x&0\\0&12(y+2)\end{array}\right|=-144x-72xy$[/tex]
Lokalizacja ekstremów:
[tex]$H(P_1)=-432 $[/tex]
W punkcie [tex]P_1[/tex] nie ma ekstremum.
[tex]$H(P_2)=432$[/tex]
W punkcie [tex]P_2[/tex] mamy ekstremum.
[tex]$H(P_3)=432 $[/tex]
W punkcie [tex]P_3[/tex] mamy ekstremum.
[tex]$H(P_4)=-432$[/tex]
W punkcie [tex]P_4[/tex] nie ma ekstremum.
5. Określenie minimów i maksimów lokalnych
[tex]$f''_{xx}(P_2)=18>0$[/tex]
Funkcja ma minimum lokalne [tex]$f_{min}(-3; \ 0)=-57$[/tex]
[tex]$f''_{xx}(P_3)=-18<0 $[/tex]
Funkcja ma maksimum lokalne [tex]$f_{max}(3; \ -4) =115$[/tex]