Odpowiedź:
poobserwujmy sobie ta funkcje. Po pierwsze funkcja na gorze jest liniowa i nie ma zadnych "niebezbiecznych punktow", bo funkcja liniowa jest ciagla.
Funkcja na dole ma pewne niebezpieczenstwo, poniewaz ma mianownik
[tex]x^{2} -1 = 0[/tex]
wiec
[tex]x^{2} =1\\|x| = 1 \\[/tex]
wiec dla x=1 i dla x=-1 ten mianownik nam sie zzeruje i bedzie punkt nieciaglosci. ale nie musimy sie tym przejmowac poniewaz funkcja na dole jest okreslona dla x>1
Jedynie co nas moze niepokoic to miejsce w ktorym te funkcje sie spotykaja czyli w punkcie 1. musimy policzyc granice dla funkcji liniowej w punkcie 1 z lewej strony, a dla funkcji dolnej granice w punkcie 1 ale z prawej strony
[tex]\lim_{x \to 1} (x+\frac{1}{3} ) = \frac{3}{2} \\ \lim_{x \to 1} (\frac{x^{2} +x-2}{x^{2} -1} ) =\{\frac{0}{0} \} = \lim_{x \to 1} (\frac{2x +1}{2x} ) = \frac{2*1+1}{2*1} = \frac{3}{2}[/tex]
podczas liczenia drugiej granicy otrzymalismy granice nieokreslona, ale z reguly de l'hospitala mozemy sobie policzyc pochodna i granica pozostanie bez zmian.
A wiec granice obustronne sa sobie rowne, a wiec w tym punkcie nie ma nieciaglosci.
A zatem funkcja f(x) jest ciagla dla kazdego x∈ R
