Odpowiedź:
[tex]-x^2+mx-m=0\\\Delta=m^2-4m[/tex]
2 różnie pierwiastki, więc delta większa od zera:
[tex]\Delta>0\\m^2-4m>0\\m(m-4)>0\\m_1=0\\m_2=4\\m\in(-\infty,0) \ \cup \ (4,+\infty)[/tex]
pierwiastki początkowego równania:
[tex]x_1=\frac{-m-\sqrt{m^2-4m} }{-2} \\x_2=\frac{-m+\sqrt{m^2-4m} }{-2}[/tex]
warunek do spełnienia:
[tex](x_1+3x_2)(x_2+3x_1)=-1\\\frac{-m-\sqrt{\Delta}-3m+3\sqrt{\Delta} }{-2} \cdot \frac{-m+\sqrt{\Delta}-3m-3\sqrt{\Delta} }{-2}=-1\quad |\cdot4\\(-4m+2\sqrt{\Delta})\cdot (-4m-2\sqrt{\Delta})=-4\\[/tex]
ze wzoru skróconego mnożenia:
[tex](-4m)^2-(2\sqrt{\Delta})^2=-4 \\16m^2-4\Delta=-4\\16m^2-4m^2+16m=-4\\12m^2+16m+4=0\\\Delta_m=256-192=64\\\sqrt{\Delta_m} =8 \\m_1=\frac{-16-8}{24}=-1 \\m_2=\frac{-16+8}{24}=-\frac{1}{3}[/tex]
porównując otrzymane m z wyznaczonym wcześniej przedziałem:
[tex]D:\ \ m\in(-\infty,0) \ \cup \ (4,+\infty)\\m_1 \in D\\m_2 \in D[/tex]
więc ostatecznie rozwiązanie to:
[tex]m=\{-\frac{1}{3} ,-1\}[/tex]
Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{m=-1\ \vee\ m=-\dfrac{1}{3}}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]f(x)=-x^2+mx-m\\\\\left\{\begin{array}{ccc}a\neq0&(1)\\\Delta>0&(2)\\(x_1+3x_2)(x_2+3x_1)=-1&(3)\end{array}\right\\\\(1)\ a=-1\neq0\\\\\huge\boxed{(1)\ m\in\mathbb{R}}[/tex]
[tex](2)\ \Delta>0\\\\\Delta=b^2-4ac\\\\a=-1,\ b=m,\ c=-m\\\\\Delta=m^2-4\cdot(-1)\cdot(-m)=m^2-4m>0\\\\m(m-4)>0\\\\^{m=0\qquad m=4}[/tex]
Rysunek poglądowy w załączniku.
Współczynnik przy m² jest dodatni. Ramiona paraboli skierowane w górę.
[tex]\huge\boxed{(2)\ m\in(-\infty,\ 0)\ \cup\ (4,\ \infty)}[/tex]
[tex](3)\ (x_1+3x_2)(x_2+3x_1)=-1\\\\x_1x_2+3x_1^2+3x_2^2+9x_1x_2=-1\\\\10x_1x_2+3(x_1^2+x_2^2)=-1\\\\10x_1x_2+3(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2)=-1\qquad|(a+b)^2=a+2+2ab+b^2\\\\10x_1x_2+3\bigg[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\bigg]=-1\\\\10x_1x_2+3(x_1+x_2)^2-6x_1x_2=-1\\\\4x_1x_2+3(x_1+x_2)^2=-1[/tex]
Skorzystamy teraz ze wzorów Viète’a:
[tex]x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}\\\\x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}[/tex]
Podstawiamy wyrażenia ze wzorów :
[tex]4\cdot\dfrac{c}{a}+3\left(\dfrac{-b}{a}\right)^2=-1\\\\\dfrac{4c}{a}+\dfrac{3b^2}{a^2}=-1[/tex]
Podstawiamy wartości:
[tex]\dfrac{4\cdot(-m)}{-1}+\dfrac{3\cdot m^2}{(-1)^2}=-1\\\\4m+3m^2=-1\qquad|+1\\\\3m^2+4m+1=0\\\\3m^2+3m+m+1=0\\\\3m(m+1)+1(m+1)=0\\\\(m+1)(3m+1)=0\iff m+1=0\ \vee\ 3m+1=0\qquad|-1\\\\m=-1\ \vee\ 3m=-1\qquad|:3\\\\\huge\boxed{(3)\ m=-1\ \vee\ m=-\dfrac{1}{3}}[/tex]
Z (1), (2) i (3) mamy:
[tex]m=-1\ \vee\ m=-\dfrac{1}{3}[/tex]
