Odpowiedź:
1. Jest 7 takich liczb
2. Takich liczb jest 45
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zad 1.
1 . 3 .
2 . 4 .
3 . 5 .
4 . 6 .
5 . 7 .
6 . 8 .
7 . 9 .
__________________
Jest 7 takich liczb, kropki oznaczają cyfry liczby czterocyfrowej, ale do zadania są one nieistotne.
Zad 2.
dla n = 1
1 . . 0
2 . . 1
3 . . 2
4 . . 3
5 . . 4
6 . . 5
7 . . 6
8 . . 7
9 . . 8
_____________________
Dla n = 1, takich liczb jest 9
2 . . 0
3 . . 1
4 . . 2
5 . . 3
6 . . 4
7 . . 5
8 . . 6
9 . . 8
______________________
Dla n = 2, takich liczb jest 8
3 . . 0
4 . . 1
5 . . 2
6 . . 3
7 . . 4
8 . . 5
9 . . 6
_____________________
Dla n = 3, takich liczb jest 7
.....................................................
Dla n = 4, takich liczb jest 6
Dla n = 5, takich liczb jest 5
Dla n = 6, takich liczb jest 4
Dla n = 7, takich liczb jest 3
Dla n = 8, takich liczb jest 2
Dla n = 9, takich liczb jest 1 (9 . . 0)
_____________________________________
∑ = 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = ? = 45. Takich liczb jest 45
Dodatek: Od dodawania tylu cyferek może nam się coś pomylić, a jak ktoś już dodaliśmy to możemy sprawdzić, czy się nie pomyłki - spróbujemy tą "sigmę" obliczyć inaczej:
Utworzymy sumę cyfr 0d 1 do 10: ∑ = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.
Możemy zauważyć, że suma skrajnych par tych cyfr
(ściślej to z liczbą 10) jest stała:
1 + 10 = 11, 2 + 9 = 11, 3 + 8 = 11, 4 + 7 = 11, 5 + 6 = 11
Tych par mamy 10/2 = n/2 = 5, więc wystarczy wziąć tylko pierwszą
parę i porachować tą sumę tak: ∑ = 10•(1 + 10)/2 = 10•11/2 = 110/2 = 55
Jakby to jeszcze uściślić to rachowaliśmy tak:
a1 = 1; n = 10; an = 10; ∑ = Sn = S10 = n(a1 + an)/2
Tym samym, jeśli można tak podsumować, wyprowadziliśmy wzór na sumę n - wyrazów ciągu arytmetycznego.
Sumę cyfr do 10 to jeszcze ręcznie można policzyć,
ale do 100, 1000, ..., n; możemy tym wzorem łatwo i szybko policzyć, a jeszcze różne kombinacje..., liczb parzystych, nieparzystych czy inne kombinacje..., jakie mamy często w zadaniach.
Oczywiście pamiętamy, że od tej sumy 55 sumy należy odjąć - 10, bo tam mamy sumę cyfr = ? od 1 do 9.
