Odpowiedź:
cosinus kąta rozwartego β miedzy przekątnymi tego prostokąta
jest równy cosβ = - 7/18
Szczegółowe wyjaśnienie:
W prostokącie przekątne przecinają się w połowie i na połowie wysokości prostokąta.
Poprowadzimy odcinek prostej poziomej (równoległej do krótszego boku) przez punkt przecięcia przekątnych - odcinek ten dzieli kąt β na połowy, β/2
[bo z podanej funkcji sinα = (bok dłuższy)/przekątnej = 5/6 i tak należy oznaczył te boki, 5 i 6.
Krótszy bok (podstawę) oznaczymy przez x, Z tw. Pitagorasa obliczymy:
x² + 5² = 6² to x² = 6² - 5² = 36 - 25 = 11 to
krótszy bok prostokąta x = √11
Proszę zauważyć, że, że kąty α = β/2 (dwie proste równoległe przecięte przekątną), więc cosβ/2 = (krótszy bok x)/(przekątnej)
to cosβ/2 = √11/6
Teraz skorzystamy z tzw. kątów połówkowych (są w każdych tablicach mat.-fiz.)
(1 + cosβ)/2 = cos²(β/2) /•2 to 1 + cosβ = 2cos²(β/2)
cosβ = 2cos²(β/2) - 1 = 2•(√11/6)² - 1 = 2•11/36 - 36/36 = 11/18 - 18/18
to
cosβ = -7/18, wartość jest ujemna, ponieważ: w drugiej ćwiartce (kąt rozwarty, β ∈ (90º, 180º), cosβ < 0
- dla wzorów redukcyjnych jest taki wierszyk, z akcentem na "plusy" (pozostałe to minusy):, łatwo zapamiętać:
W pierwszej ćwiartce same plusy "++++", w drugiej tylko sinus "+", w trzeciej tangens i cotangens "++" a w czwartej cosinus "+".
