Odpowiedź:
Powstałe bryły ⇒ ich pola powierzchni całkowitych i objętości są identyczne.
[tex]\boxed{V_{ABCDW} =V_{DE~FAW}=20,25~cm^{3} }[/tex]
[tex]\boxed{P_{cABCDW} =P_{cDE~FAW} =\dfrac{9\sqrt{3} }{4}(7+3\sqrt{5} )~cm^{2}}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Ostrosłup prawidłowy sześciokątny - jest to ostrosłup, który w podstawie ma sześciokąt foremny, a wszystkie jego ściany boczne są identycznymi trójkątami równoramiennymi.
Sześciokąt foremny jest to sześciokąt wypukły o wszystkich bokach równej długości i wszystkich kątach równych. Pole sześciokąta foremnego = 6 × Pole Δ równobocznego .
Wprowadzam oznaczenia:
[tex]H=\mid SW\mid[/tex] - wysokość ostrosłupa
[tex]a[/tex] - długość krawędzi podstawy
[tex]b[/tex] - krawędzie boczne ostrosłupa
[tex]h[/tex] - wysokość ściany bocznej ( trójkąta równoramiennego )
Mamy obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej po rozcięciu ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego po rozcięciu przez płaszczyznę, która przechodzi przez punkty A, D oraz W.
Ta płaszczyzna dzieli ostrosłup na dwie identyczne bryły ⇒ objętość każdej z brył jak i pole powierzchni całkowitej będą równe odpowiednio połowie objętości ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego oraz połowie jego powierzchni całkowitej + pole trójkąta ADW.
I.
Obliczamy objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego.
[tex]V=\dfrac{1}{3} \cdot H \cdot P_{p}[/tex] - wzór na objętość ostrosłupa
Zaczniemy od obliczenia pola podstawy sześciokąta foremnego.
[tex]P_{p} =P_{szesciokat~foremny} =6\cdot P_{\Delta~rownobocznego} =6\cdot \dfrac{a^{2} \sqrt{3} }{4} =\dfrac{3a^{2} \sqrt{3} }{2}\\\\P_{p} =\dfrac{3a^{2} \sqrt{3} }{2}~~\land~~a=3cm~~\Rightarrow~~P_{p} =\dfrac{3\cdot 3^{2} \cdot \sqrt{3} }{2}~cm^{2} =\dfrac{27\sqrt{3} }{2}~cm^{2}[/tex]
Wysokość ostrosłupa ( H ) obliczymy korzystając z twierdzenia Pitagorasa ( rysunek w załączniku - trójkąt żółty )
[tex]H^{2} +a^{2} =b^{2} ~~\land~~a=3~cm~~\land~~b=6~cm\\\\H^{2} +(3cm)^{2} =(6cm)^{2} \\\\H^{2} +9cm^{2} =36cm^{2} \\\\H^{2} =36cm^{2} -9cm^{2}\\\\H^{2} =27cm^{2} ~~\land~~H > 0~~\Rightarrow~~H=\sqrt{27} ~cm=\boxed{3\sqrt{3} ~cm}[/tex]
[tex]V=\dfrac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} ~cm\cdot \dfrac{27\sqrt{3} }{2} ~cm^{2} \\\\V=\dfrac{81 }{2} ~cm^{3} =40,5~cm^{2}[/tex]
Teraz możemy obliczyć objętości powstałych brył, które są identyczne:
[tex]V_{ABCDW} =V_{DE~FAW}=\dfrac{1}{2} \cdot V~~\land~~V=40,5~cm^{3} \\\\\boxed{V_{ABCDW} =V_{DE~FAW}=20,25~cm^{3} }[/tex]
II.
Obliczamy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego.
[tex]P_{c} =P_{p} +P_{b}[/tex]
[tex]P_{p} =\dfrac{27\sqrt{3} }{2}~cm^{2}[/tex]
Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równe sumie sześciu identycznych trójkątów równoramiennych.
[tex]P_{b} =6\cdot P_{trojkat~rownoramienny}[/tex]
Do obliczenia pola trójkąta równoramiennego obliczamy h korzystając z twierdzenia Pitagorasa ( rysunek w załączniku - trójkąt fioletowy )
[tex]h^{2} +(\frac{a}{2} )^{2} =b^{2} ~~\land~~\dfrac{a}{2}=\dfrac{3}{2} ~cm~~\land~~b=6~cm\\\\h^{2} +(\frac{a}{2} )^{2} =b^{2}[/tex]
[tex]h^{2} =6^{2} -(\frac{3}{2} )^{2} \\h^{2} =36-2\dfrac{1}{4}\\\\h^{2} =33\frac{3}{4} =\frac{135}{4} =\frac{3^{2} \cdot 15}{2^{2} } ~~\land~~h > 0~~\Rightarrow~~\boxed{h=\dfrac{3\sqrt{15} }{2} ~cm}[/tex]
Teraz obliczamy pole trójkąta równoramiennego oraz pole powierzchni bocznej ostrosłupa.
[tex]P_{b} =\dfrac{1}{2} \cdot a\cdot h~~\land~~a=3~cm~~\land~~h=\dfrac{3\sqrt{15} }{2} ~cm\\\\P_{trojkata~rownoramiennego} =\dfrac{1}{2} \cdot 3~cm\cdot \dfrac{3\sqrt{15} }{2} ~cm\\\\P_{trojkata~~rownoramiennego} =\dfrac{9\sqrt{15} }{4} cm^{2} \\\\\\P_{b} =6\cdot \dfrac{9\sqrt{15} }{4} cm^{2}\\\\\boxed{P_{b} =\dfrac{27\sqrt{15} }{2} cm^{2}}[/tex]
[tex]P_{c} =P_{p} +P_{b} \\\\P_{c} =\dfrac{27\sqrt{3} }{2}~cm^{2} + \dfrac{27\sqrt{15} }{2} cm^{2}\\\\P_{c} =\dfrac{27\sqrt{3} }{2}~cm^{2} + \dfrac{27\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} }{2} cm^{2}\\\\P_{c} =\dfrac{27\sqrt{3} }{2} (1+\sqrt{5} )~cm^{2}[/tex]
Obliczamy pole trójkąta ADW.
[tex]P_{\Delta ADW} =\dfrac{1}{2} \cdot 2a \cdot H~~\land~~2a=6~cm~~\land~~H=3\sqrt{3} ~cm\\\\P_{\Delta ADW} =\dfrac{1}{2} \cdot 6~cm \cdot 3\sqrt{3} ~cm\\\\P_{\Delta ADW} =9\sqrt{3} ~cm^{2}[/tex]
Teraz możemy obliczyć pole powierzchni całkowitej powstałych brył, które są identyczne :
[tex]P_{cABCDW} =P_{cDE~FAW} =\dfrac{1}{2} P_{c} +P_{\Delta ADW}\\\\P_{cABCDW} =P_{cDE~FAW} =\dfrac{1}{2} \cdot(\dfrac{27\sqrt{3} }{2}~cm^{2} + \dfrac{27\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} }{2} cm^{2})+9\sqrt{3} ~cm^{2}\\\\P_{cABCDW} =P_{cDE~FAW} =\dfrac{27\sqrt{3} }{4}~cm^{2} + \dfrac{27\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} }{4} cm^{2}+9\sqrt{3} ~cm^{2}\\\\P_{cABCDW} =P_{cDE~FAW} =\dfrac{27\sqrt{3} }{4}~cm^{2} + \dfrac{27\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} }{4} cm^{2}+\dfrac{36\sqrt{3} }{4}~cm^{2}\\\\[/tex]
[tex]P_{cABCDW} =P_{cDE~FAW} =\dfrac{63\sqrt{3} }{4}~cm^{2} + \dfrac{27\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} }{4} cm^{2}\\\\\boxed{P_{cABCDW} =P_{cDE~FAW} =\dfrac{9\sqrt{3} }{4}(7+3\sqrt{5} )~cm^{2} }[/tex]
Odp:
Bryły są identyczne, ich pola powierzchni całkowitych wynoszą [tex]\dfrac{9\sqrt{3} }{4}(7+3\sqrt{5} )~cm^{2}[/tex] a objętości [tex]20,25~cm^{3}[/tex].
