(1) Wyznaczam drugą pochodną funkcji:
f(x) = eˣ * (1 + x²)
Df = R
f'(x) = (eˣ)' * (1 + x²) + eˣ * (1 + x²)' = eˣ * (1 + x²) + eˣ * 2x = eˣ(x² + 4x + 1)
Df' = R
f''(x) = (eˣ)' * (x² + 4x + 1) + eˣ * (x² + 4x + 1)' = eˣ * (x² + 4x + 1) + eˣ * (2x + 4) =
= eˣ * (x² + 6x + 5) = eˣ * (x + 1) * (x - 5)
Df'' = R
(2) Sprawdzam kiedy f''(x) = 0, f''(x) > 0 i f''(x) < 0.
f''(x) = 0 ⇔ eˣ * (x + 1) * (x - 5) = 0 ⇔ x ∈ {-5, -1}
f''(x) > 0 ⇔ x ∈ (-∞, -5), x ∈ (-1, +∞)
f''(x) < 0 ⇔ x ∈ (-5, -1)
(3) Wyznaczam przedziały wklęsłości/wypukłości.
Wykres funkcji jest wypukły dla x ∈ (-∞, -5) i x ∈ (-1, +∞).
Wykres funkcji jest wklęsły dla x ∈ (-5, -1).
(-_-(-_-)-_-)
