Rozwiązanie:
Zadanie [tex]1.[/tex]
[tex]a)[/tex]
[tex]$ \lim_{n \to \infty} \Big(1+\frac{3n^{2}}{n^{3}+5} \Big)^{n+2}= \lim_{n \to \infty} \Bigg(\Big(1+\frac{3n^2}{n^{3}+5}\Big)^{\frac{n^{3}+5}{3n^{2}} }\Bigg)^{\frac{3n^{2}(n+2)}{n^{3}+5} }=[/tex]
[tex]$= \lim_{n \to \infty} e^{\frac{3n^{3}+6n^{2}}{n^{3}+5} }=e^{3}[/tex]
[tex]b)[/tex]
[tex]$ \lim_{n \to \infty} \frac{\cos (5n+3)}{7n^{2}+8} =0[/tex]
Zauważmy, że wartości cosinusa mieszczą się w przedziale [tex]\langle-1,1\rangle[/tex], tak mała liczba podzielona przez liczbę bardzo dużą jest bliska zeru, stąd wynik granicy.
Zadanie [tex]2.[/tex]
[tex]a)\\[/tex]
[tex]$ \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{\sin x} =\Big[\frac{0}{0}\Big][/tex]
Stosując regułę mamy:
[tex]$ \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{\cos x} =\frac{2e^{0}}{\cos (0)}=2[/tex]
[tex]b)[/tex]
[tex]$ \lim_{x \to \pi^{+}} (x-\pi) \cot x=\lim_{x \to \pi^{+}} \frac{(x-\pi)\cos x}{\sin x}=\Big[\frac{0}{0} \Big][/tex]
Stosując regułę:
[tex]$ \lim_{x \to \pi^{+}}\frac{\cos x -(x-\pi)\sin x}{\cos x} =\frac{\cos (\pi)-(\pi-\pi) \sin (\pi)_ }{\cos (\pi)} =\frac{-1}{-1} =1[/tex]
Zadanie [tex]3.[/tex]
Funkcja:
[tex]f(x)=2x^{3}-3x^{2}+1[/tex]
Dziedzina:
[tex]x \in \mathbb{R}[/tex]
Pochodna:
[tex]f'(x)=6x^{2}-6x[/tex]
[tex]D_{f}=D_{f'}[/tex]
Funkcja jest rosnąca, gdy [tex]f'(x)>0[/tex] :
[tex]6x^{2}-6x>0[/tex]
[tex]x(x-1)>0[/tex]
[tex]x \in (-\infty,0) \cup (1,\infty)[/tex]
Zatem funkcja jest rosnąca w przedziale [tex](-\infty,0)[/tex] oraz [tex](1,\infty)[/tex].
Oczywiste jest, że funkcja jest malejąca w przedziale [tex](0,1)[/tex].
Ekstrema:
[tex]f'(x) =0 \iff x=0 \vee x=1[/tex]
Na podstawie powyższego:
Funkcja osiąga maksimum lokalne dla [tex]x=0[/tex] równe [tex]1[/tex].
Funkcja osiąga minimum lokalne dla [tex]x=1[/tex] równe [tex]0[/tex].
