Rozwiązanie:
Zadanie [tex]4.[/tex]
[tex]$2x+x^{2}+ \frac{1}{2}x^{3}+\frac{1}{4} x^{4}+...=4[/tex]
Szereg geometryczny:
[tex]a_{1}=2x[/tex]
[tex]$q=\frac{1}{2}x[/tex]
Aby równanie miało sens:
[tex]$|q|<1 \iff \frac{1}{2}|x|<1 \iff |x|<2[/tex]
[tex]x<2 \wedge x>-2[/tex]
[tex]x \in (-2,2)[/tex]
Suma szeregu:
[tex]$S=\frac{a_{1}}{1-q} =\frac{2x}{1-\frac{1}{2}x } =\frac{2x}{\frac{2-x}{2} } =\frac{4x}{2-x}[/tex]
Równanie:
[tex]$\frac{4x}{2-x} =4[/tex]
[tex]4x=4(2-x)[/tex]
[tex]4x=8-4x[/tex]
[tex]8x=8 \iff x=1 \in D[/tex]
Rozwiązaniem równania jest [tex]x=1[/tex].
Zadanie [tex]5.[/tex]
Na podstawie podobieństwa łatwo pokazać, że każdy kolejny romb i każdy kolejny prostokąt jest dwukrotnie mniejszy niż poprzedni (skala [tex]1:2[/tex]).
[tex]a)[/tex]
Obwód pierwszego prostokąta:
[tex]L=a_{1}=2(4+8)=24[/tex]
[tex]$q=\frac{1}{2}[/tex]
Suma obwodów:
[tex]$S_{L}=\frac{24}{1-\frac{1}{2}} =24 \cdot 2 =48[/tex]
[tex]b)[/tex]
Pole pierwszego rombu - to po prostu pole prostokąta pomniejszone o pola czterech przystających trójkątów, których pole jest równe [tex]4[/tex]. Zatem pole rombu jest równe:
[tex]P=b_{1}=32-4 \cdot 4 =16[/tex]
[tex]$q=\frac{1}{2}[/tex]
Suma pól:
[tex]$S_{P}=\frac{16}{1-\frac{1}{2} } =16 \cdot 2 = 32[/tex]
